Sbírka matematických úloh

Tři proměnné

Úloha číslo: 3257

• Varianta 1

  \[\begin{eqnarray*} \max (x_1+2x_2-x_3) \\ 2x_1 + x_2 + x_3 & \le & 14 \\ 4x_1 + 2x_2 + 3x_3 & \le & 28 \\ 2x_1 + 5x_2 + 5x_3 & \le & 30 \\ x_1,x_2,x_3 & \ge & 0 \end{eqnarray*}\]

• Řešení

  Stejně jako v předchozím příkladu značíme hvězdičkou vybraná \(r\) a \(s\).

  \( \begin{array}{r|rrrrrr|r} 4 & 2 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 14 \\ 5 & 4 & 2 & 3 & 0 & 1 & 0 & 28 \\ 6^* & 2 & 5 & 5 & 0 & 0 & 1 & 30 \\ \hline & 1 & 2^* & -1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \)

  \( \begin{array}{r|rrrrrr|r} 4^* & 8/5 & 0 & 0 & 1 & 0 & -1/5 & 8 \\ 5 & 16/5 & 0 & 1 & 0 & 1 & -2/5 & 16 \\ 2 & 2/5 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1/5 & 6 \\ \hline & 1/5^* & 0 & -3 & 0 & 0 & -2/5 & -12 \\ \end{array} \)

  \( \begin{array}{r|rrrrrr|r} 1 & 1 & 0 & 0 & 5/8 & 0 & -1/8 & 5 \\ 5 & 0 & 0 & 1 & -2 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 1 & 1 & -1/4 & 0 & 1/4 & 4 \\ \hline & 0 & 0 & -3 & -1/8 & 0 & -3/8 & -13 \\ \end{array} \)

• Výsledek

  \(x_1=5, x_2=4, x_3=0, z=13\).

• Varianta 2

  \[\begin{eqnarray*} \max (5x_1+2x_2+6x_3) \\ 2x_1 - 4x_2 + x_3 & \le & 42 \\ 2x_1 + 3x_2 - x_3 & \le & 42 \\ 6x_1 - 5x_2 + 3x_3 & \le & 42 \\ x_1,x_2,x_3 & \ge & 0 \end{eqnarray*}\]

• Řešení

  \( \begin{array}{r|rrrrrr|r} 4 & 2 & -4 & 1 & 1 & 0 & 0 & 42 \\ 5 & 2 & 3 & -1 & 0 & 1 & 0 & 42 \\ 6^* & 6 & -5 & 3 & 0 & 0 & 1 & 42 \\ \hline & 5 & 2 & 6^* & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \)

  \( \begin{array}{r|rrrrrr|r} 4 & 0 & -7/3 & 0 & 1 & 0 & -1/3 & 28 \\ 5^* & 4 & 4/3 & 0 & 0 & 1 & 1/3 & 56 \\ 3 & 2 & -5/3 & 1 & 0 & 0 & 1/3 & 14 \\ \hline & -7 & 12^* & 0 & 0 & 0 & -2 & -84 \\ \end{array} \)

  \( \begin{array}{r|rrrrrr|r} 4 & 7 & 0 & 0 & 1 & 7/4 & 1/4 & 126 \\ 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 3/4 & 1/4 & 42 \\ 3 & 7 & 0 & 1 & 0 & 5/4 & 3/4 & 84 \\ \hline & -43 & 0 & 0 & 0 & -9 & -5 & -588 \\ \end{array} \)

• Výsledek

  \(x_1=0, x_2=42, x_3=84, z=588\)

• Varianta 3

  \[\begin{eqnarray*} \max (2x_1-x_2+x_3) \\ 2x_1 + x_2 - 3x_3 & \le & 40 \\ x_1 + x_3 & \le & 25 \\ 2x_1 + 3x_2 & \le & 32 \\ x_1,x_2,x_3 & \ge & 0 \end{eqnarray*}\]

• Řešení

  \( \begin{array}{r|rrrrrr|r} 4 & 2 & 1 & -3 & 1 & 0 & 0 & 40 \\ 5^* & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 25 \\ 6 & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 32 \\ \hline & 2 & -1 & 1^* & 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \)

  \( \begin{array}{r|rrrrrr|r} 4 & 5 & 1 & 0 & 1 & 3 & 0 & 115 \\ 3 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 25 \\ 6^* & 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 1 & 32 \\ \hline & 1^* & -1 & 0 & 0 & -1 & 0 & -25 \\ \end{array} \)

  \( \begin{array}{r|rrrrrr|r} 4 & 0 & -13/2 & 0 & 1 & 3 & -15/2 & 35 \\ 3 & 0 & - 3/2 & 1 & 0 & 1 & - 1/2 & 9 \\ 1 & 1 & 3/2 & 0 & 0 & 0 & 1/2 & 16 \\ \hline & 0 & - 5/2 & 0 & 0 & -1 & -1/2 & -41 \\ \end{array} \)

• Výsledek

  \(x_1=16, x_2=0, x_3=9, z=41\)