Zobrazení dané obrazem báze
Úloha číslo: 4522
Mějme lineární zobrazení \(f : \mathbb R \to \mathbb R\) zadané obrazem báze \(B\):
\(f((2, 1, 1)^\mathsf T) = (1, 2, 3)^\mathsf T\), \(f((1, 3, 5)^\mathsf T) = (3, 2, 1)^\mathsf T\), \(f((7, 1, 4)^\mathsf T) = (1, 1, 1)^\mathsf T\).
Zjistěte, zdali je zobrazení prosté (pokud není, najděte různé vektory \(\boldsymbol u, \boldsymbol v \in \mathbb R^3\) takové, že \(f (\boldsymbol u) = f (\boldsymbol v)\) a také zdali je zobrazení \(f\) na (pokud ne, najděte vektor, který nemá vzor, tedy \(\boldsymbol u \in \mathbb R^3\) takový že \(\forall\boldsymbol v\in \mathbb R^3 : f (\boldsymbol v) \ne \boldsymbol u\)).
Pro obraz i jádro tohoto lineárního zobrazení určete dimenzi a bázi těchto dvou podprostorů.
Řešení
Matice tohoto zobrazení od báze \(B\) ke standardní bázi \(E\) je:
\( [f]_{B,E}= \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & -4 & -1 \\ 0 & -8 & -2 \end{pmatrix} \sim \sim \begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Tato čtvercová matice je singulární tedy zobrazení \(f\) není bijekcí, a proto není ani prosté ani na.
Množina řešení soustavy s maticí \([f]_{B,E}\) odpovídá vektorům souřadnic \([\boldsymbol u]_B\) vektorů \(\boldsymbol u\) patřícím do jádra \(\ker f\). Každé dva vektory z jádra mají stejný obraz a tedy dokazují, že \(f\) není prosté.
Zpětnou substitucí lze konkrétně zjistit, že \(\ker f=\{\boldsymbol u\colon [\boldsymbol u]_B=p(1{,}1,-4)^\mathsf T,p\in\mathbb R\}\) a tudíž například vektor \(\boldsymbol u=(2{,}1,1)^\mathsf T+(1{,}3,5)^\mathsf T-4(7{,}1,4)^\mathsf T=(-25{,}0,-10)^\mathsf T\in \ker f\) a ten má stejný obraz jako nulový vektor: \(f(\boldsymbol u)=f(\mathbf 0)=\mathbf 0\).
Obraz zobrazení \(f\) je generován řádky matic:
\( [f]_{B,E}^\mathsf T= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 3 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \sim \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -4 & -8 \\ 0 & -1 & -2 \end{pmatrix} \sim \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \)
Například vektor \(\boldsymbol v=(0{,}0,1)^\mathsf T\) je jeden z vektorů, kterým lze rozšířit bázi obrazu \(f\) na bázi \(\mathbb R^3\), a proto tento vektor nepatří do obrazu zobrazení \(f\).
Odpověď
Zobrazení \(f\) není prosté, protože například pro vektory \(\boldsymbol u=(5{,}0,2)^\mathsf T\) a \(\boldsymbol v=\mathbf 0\) platí \(f(\boldsymbol u)=f(\boldsymbol v)\).
Jádro \(\ker f\) má dimenzi 1 s možnou bází \(\{(5{,}0,2)^\mathsf T\}\).
Zobrazení \(f\) není na. Obraz \(\operatorname{Im} f\) má dimenzi 2, s možnou bází \(\{(1{,}2,3)^\mathsf T,(0{,}1,2)^\mathsf T\}\).
Vektor \(\boldsymbol u=(0{,}0,1)^\mathsf T\) je jedním z vektorů, který není vzorem žádného vektoru \(\boldsymbol v \in\mathbb R\).
Komentář
Oba výpočty by bylo možné provést najednou převodem blokové matice \(([f]_{B,E}^\mathsf T|\mathbf I_3)\) na odstupňovaný tvar, protože hledané koeficienty lineárně závislých vektorů by byly na pravé straně nulového řádku.
