Sbírka matematických úloh

Soustavy s libovolně mnoha řešeními

Úloha číslo: 2372

• Varianta

  \[\begin{alignat*}{7} 2 x_1 &{}-{}& 3x_2 &{}+{}& 2x_3 &{}={}& 1 \\ x_1 &{}-{}& 2x_2 &{}+{}& x_3 &{}={}& 0 \\ 5 x_1 &{}-{}& 9x_2 &{}+{}& 5x_3 &{}={}& 1 \\ \end{alignat*}\]

• Nápověda

  Sestavte matici soustavy a převeďte ji na odstupňovaný tvar. Poté zpětnou substitucí popište všechna řešení.

• Řešení

  Převod na odstupňovaný tvar Gaussovou eliminací:

  \( \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} 2 & -3 & 2 & 1 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 5 & -9 & 5 & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ \end{array} \end{pmatrix}\sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \end{pmatrix} \)

  Proměnná \(x_3\) je volná, zavedeme za ni parametr \(x_3=p\).

  Z druhé rovnice máme přímo \(x_2=1\) a z první \(x_1-2+p=0\) plyne \(x_1=2-p\).

• Odpověď

  Řešením je \(\boldsymbol x=(2{,}1,0)^\mathrm{T}+p(-1{,}0,1)^\mathrm{T}\).

• Zkouška

  Zkoušku provedeme dosazením včetně parametrů.

  \[ \begin{alignat*}{9} 2 (2-p) &{}-{}& 3{\cdot} 1 &{}+{}& 2p &{}={}& 4-2p-3+2p &{}={}& 1 \\ 2-p &{}-{}& 2{\cdot} 1 &{}+{}& p &{}={}& 2-p-2+p &{}={}& 0 \\ 5 (2-p) &{}-{}& 9{\cdot} 1 &{}+{}& 5p &{}={}& 10-5p-9+5p&{}={}& 1 \\ \end{alignat*} \]

• Varianta

  \[ \begin{alignat*}{9} & & x_2 & & &{}+{}& x_4 &{}={}& 1 \\ 3 x_1 &{}-{}& 2x_2 &{}-{}& 3x_3 &{}+{}& 4x_4 &{}={}& -2 \\ x_1 &{}+{}& x_2 &{}-{}& x_3 &{}+{}& x_4 &{}={}& 2 \\ x_1 & & &{}-{}& x_3 & & &{}={}& 1 \end{alignat*} \]

• Odpověď

  Řešením je \(\boldsymbol x=(1,\tfrac{3}{2},0,-\tfrac{1}{2})^\mathrm{T}+p(1{,}0,1{,}0)^\mathrm{T}\).

• Varianta

  \[ \begin{alignat*}{9} {} - x_1 &{}+{}& x_2 &{}-{}& 3x_3 &{}+{}& 4x_4 &{}={}& 1 \\ 2x_1 &{}-{}& x_2 &{}+{}& 4x_3 &{}-{}& 7x_4 &{}={}& 0 \\ {} - x_1 &{}-{}& x_2 &{}+{}& x_3 &{}+{}& 2x_4 &{}={}& -3 \\ {} - x_1 &{}+{}& 2x_2 &{}-{}& 5x_3 &{}+{}& 5x_4 &{}={}& 3 \\ \end{alignat*} \]

• Odpověď

  Řešením je \(\boldsymbol x=(1{,}2,0{,}0)^\mathrm{T}+p(-1{,}2,1{,}0)^\mathrm{T}+q(3,-1{,}0,1)^\mathrm{T}\).

• Varianta

  \[ \begin{alignat*}{9} {} - x_1 &{}+{}& 2x_2 &{}+{}& x_3 &{}+{}& 4x_4 &{}={}& 3 \\ {} -2x_1 &{}+{}& 4x_2 &{}+{}& x_3 &{}+{}& 7x_4 &{}={}& 5 \\ x_1 &{}-{}& 2x_2 &{}+{}& x_3 &{}-{}& 2x_4 &{}={}& -1 \\ {} - x_1 &{}+{}& 2x_2 &{}+{}& 2x_3 &{}+{}& 5x_4 &{}={}& 4 \\ \end{alignat*} \]

• Odpověď

  Řešením je \(\boldsymbol x=(-2{,}0,1{,}0)^\mathrm{T}+p(2{,}1,0{,}0)^\mathrm{T}+q(3{,}0,-1{,}1)^\mathrm{T}\).

• Varianta

  \[ \begin{alignat*}{9}%{rcrcrcrcr} 2 x_1 &{}+{}& 9x_2 &{}+{}& 8x_3 &{}+{}& 3x_4 &{}={}& 7 \\ 2 x_1 &{}+{}& 6x_2 &{}+{}& 8x_3 &{}+{}& 3x_4 &{}={}& 3 \\ x_1 &{}+{}& 4x_2 &{}+{}& 5x_3 &{}+{}& 2x_4 &{}={}& 2 \\ 3 x_1 &{}+{}& 7x_2 &{}+{}& 7x_3 &{}+{}& 2x_4 &{}={}& 12 \\ 5 x_1 &{}+{}& 7x_2 &{}+{}& 9x_3 &{}+{}& 2x_4 &{}={}& 20 \end{alignat*} \]

• Odpověď

  Soustava nemá řešení.

• Varianta

  \[ \begin{alignat*}{11}%{rcrcrcrcrcr} x_1 &{}+{}& 2 x_2 &{}+{}& x_3 &{}-{}& x_4 &{}+{}& x_5 &{}={}& -1 \\ x_1 &{}+{}& 3 x_2 &{}+{}& 5 x_3 &{}-{}& 4 x_4 & & &{}={}& 1 \\ x_1 &{}-{}& 4 x_2 &{}+{}& x_3 &{}+{}& x_4 &{}-{}& x_5 &{}={}& 3 \\ x_1 &{}+{}& 3 x_2 &{}+{}& 2 x_3 &{}-{}& 2 x_4 &{}+{}& x_5 &{}={}& -1 \\ x_1 &{}-{}& 2 x_2 &{}+{}& x_3 &{}-{}& x_4 &{}-{}& x_5 &{}={}& 3 \end{alignat*} \]

• Odpověď

  Řešením je \(\boldsymbol x=(0,-1{,}0,-1{,}0)^\mathrm{T}+p(1{,}1,0{,}1,-2)^\mathrm{T}\).