Symbolické úpravy
Úloha číslo: 2582
Aniž byste rozvinuli oba determinanty, dokažte, že platí:
\( \det \begin{pmatrix} 0 & x & y & z \\ x & 0 & z & y \\ y & z & 0 & x \\ z & y & x & 0 \\ \end{pmatrix} = \det \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & z^2 & y^2 \\ 1 & z^2 & 0 & x^2 \\ 1 & y^2 & x^2 & 0 \\ \end{pmatrix} \)
Řešení
Předpokládejme nejprve, že \(x,y,z\ne 0\) a proveďme následující úpravy: vydělíme 2.–4. sloupec \(x\), \(y\), \(z\) poté vynásobíme 2.–4. řádek \(yz\), \(xz\) a \(xy\) a nakonec vydělíme první sloupec \(xyz\).
\( \begin{vmatrix} 0 & x & y & z \\ x & 0 & z & y \\ y & z & 0 & x \\ z & y & x & 0 \\ \end{vmatrix} =xyz \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ x & 0 & \frac{z}{y} & \frac{y}{z} \\ y & \frac{z}{x} & 0 & \frac{x}{z} \\ z & \frac{y}{x} & \frac{x}{y} & 0 \\ \end{vmatrix} =\frac{1}{xyz} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ xyz & 0 & z^2 & y^2 \\ yxz & z^2 & 0 & x^2 \\ zxy & y^2 & x^2 & 0 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & z^2 & y^2 \\ 1 & z^2 & 0 & x^2 \\ 1 & y^2 & x^2 & 0 \\ \end{vmatrix} \).
Každý výraz v rovnosti je racionální funkcí v proměnných \(x,y\) a \(z\), oba krajní determinanty jsou dokonce polynomy.
Pokud je některá z proměnných rovna \(0\), musí se polynomy (t.j. krajní determinanty) rovnat i v bodech nespojitosti racionálních funkcí (t.j. vnitřních determinantů), protože polynomy jsou spojité a ve vlastní limitě musí nabývat stejných hodnot. Rovnost tedy platí pro libovolné hodnoty proměnných \(x,y\) a \(z\).
