Sbírka matematických úloh

Symbolické úpravy

Úloha číslo: 2582

• Řešení

  Proveďme následující úpravy: vydělíme 2.–4. sloupec \(x\), \(y\), \(z\) poté vynásobíme 2.–4. řádek \(yz\), \(xz\) a \(xy\) a nakonec vydělíme první sloupec \(xyz\).

  \( \begin{vmatrix} 0 & x & y & z \\ x & 0 & z & y \\ y & z & 0 & x \\ z & y & x & 0 \\ \end{vmatrix} =xyz \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ x & 0 & \frac{z}{y} & \frac{y}{z} \\ y & \frac{z}{x} & 0 & \frac{x}{z} \\ z & \frac{y}{x} & \frac{x}{y} & 0 \\ \end{vmatrix} =\frac{1}{xyz} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ xyz & 0 & z^2 & y^2 \\ yxz & z^2 & 0 & x^2 \\ zxy & y^2 & x^2 & 0 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & z^2 & y^2 \\ 1 & z^2 & 0 & x^2 \\ 1 & y^2 & x^2 & 0 \\ \end{vmatrix} \).

• Poznámka

  Každý výraz v rovnosti je racionální funkcí v proměnných \(x,y\) a \(z\), oba krajní determinanty jsou dokonce polynomy.

  Argument na \(\mathbb R\): Pokud je některá z proměnných rovna \(0\), musí se polynomy (t.j. krajní determinanty) rovnat i v bodech nespojitosti racionálních funkcí (t.j. vnitřních determinantů), protože polynomy jsou spojité a ve vlastní limitě musí nabývat stejných hodnot.

  Též lze využít argument, že dva polynomy se shodují, pokud mají stejné hodnoty pro dostatečně mnoho voleb proměnných.

  Nad jinými tělesy je patrně snazší rozebrat případy rovnou. Např. pro \(x=0\) máme \( \begin{vmatrix} 0 & 0 & y & z \\ 0 & 0 & z & y \\ y & z & 0 & 0 \\ z & y & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & z^2 & y^2 \\ 1 & z^2 & 0 & 0 \\ 1 & y^2 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} \), což plyne z determinantu blokových matic a identity \( \begin{vmatrix} y & z \\ z & y \\ \end{vmatrix} = yz \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ \frac{z}{y} & \frac{y}{z} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ z^2 & y^2 \\ \end{vmatrix} \)

  Rovnost dereminantů platí ve skutečnosti pro libovolné hodnoty proměnných \(x,y\) a \(z\) a nad libovolným tělesem.