Jordanův normální tvar

Úloha číslo: 2650

Následující matici převeďte do Jordanova normálního tvaru a určete vlastní, popř. zobecněné vlastní vektory.

\( \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \)

  • Nápověda

    Zobecněný vlastní vektor \(\mathbf x_i\) lze získat ze soustavy \((\mathbf A-\lambda \mathbf I)\mathbf x_i=\mathbf x_{i-1}\).

  • Řešení

    Charakteristický mnohočlen \(p_\mathbf A(t)= \begin{vmatrix} 1-t & 1 & 1\\ 0 & 1-t & 0\\ -1 & 0 & 3-t \end{vmatrix} = (1-t)(2-t)^2 \).

    Soustava \((\mathbf A-2\mathbf I)\mathbf x^1=\mathbf 0\) má řešení \(\mathbf x^1=p(1, 0, 1)^T\).

    Vlastní číslo \(\lambda=2\) má geometrickou násobnost 1 a algebraickou 2, musíme tedy hledat zobecněný vlastní vektor. V daších výpočtech budeme pracovat s volbou \(p=1\), čili \(\mathbf x^1=(1, 0, 1)^T\).

    Zobecněný vlastní vektor \(\mathbf x^2\) získáme ze soustavy \((\mathbf A-2\mathbf I)\mathbf x^2=\mathbf x^1\). Její řešení je \(\mathbf x^2=q(1, 0, 1)^T+(-1, 0, 0)^T\).

    Soustava \((\mathbf A-1\mathbf I)\mathbf x=\mathbf 0\) má řešení \(\mathbf x^3=r(2, -1, 1)^T\).

    Vhodnou volbou parametrů \(q=1\) a \(r=1\) získáme hledanou matici \(\mathbf R\). Také vypočteme její inverzi \(\mathbf R^{-1}\).

    \( \mathbf R= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \mathbf R^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)

  • Výsledek

    Danou matici lze zapsat pomocí Jordanova normálního tvaru např. jako

    \( \mathbf A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf R\mathbf J\mathbf R^{-1} \)

Obtížnost: Obtížná úloha
Úloha na trénování výpočtu
En translation
	Zaslat komentář k úloze