Jordanův normální tvar
Úloha číslo: 2650
Následující matici převeďte do Jordanova normálního tvaru (rozklad \(\mathbf A=\mathbf R\mathbf J\mathbf R^{-1}\)) a určete vlastní, popř. zobecněné vlastní vektory.
Varianta
\( \mathbf A=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix} \)
Nápověda
Zobecněný vlastní vektor \(\mathbf x_i\) lze získat ze soustavy \((\mathbf A-\lambda \mathbf I)\mathbf x_i=\mathbf x_{i-1}\).
Řešení
Charakteristický mnohočlen \(p_\mathbf A(t)= \begin{vmatrix} 1-t & 1 & 1\\ 0 & 1-t & 0\\ -1 & 0 & 3-t \end{vmatrix} = (1-t)(2-t)^2 \).
Soustava \((\mathbf A-2\mathbf I)\mathbf x^1=\mathbf 0\) má řešení \(\mathbf x^1=p(1, 0, 1)^T\).
Vlastní číslo \(\lambda=2\) má geometrickou násobnost 1 a algebraickou 2, musíme tedy hledat zobecněný vlastní vektor. V daších výpočtech budeme pracovat s volbou \(p=1\), čili \(\mathbf x^1=(1, 0, 1)^T\).
Zobecněný vlastní vektor \(\mathbf x^2\) získáme ze soustavy \((\mathbf A-2\mathbf I)\mathbf x^2=\mathbf x^1\). Její řešení je \(\mathbf x^2=q(1, 0, 1)^T+(-1, 0, 0)^T\).
Soustava \((\mathbf A-1\mathbf I)\mathbf x=\mathbf 0\) má řešení \(\mathbf x^3=r(2, -1, 1)^T\).
Vhodnou volbou parametrů (aby \(\mathbf x^1, \mathbf x^2\) byly lineárně nezávislé), např. \(q=1\) a \(r=1\) získáme hledanou matici \(\mathbf R\). Také vypočteme její inverzi \(\mathbf R^{-1}\).
\( \mathbf R= \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \mathbf R^{-1}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} \)
Výsledek
Danou matici lze zapsat pomocí Jordanova normálního tvaru např. jako
\( \mathbf A= \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 0\\ -1 & 0 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2\\ 0 & 0 & -1\\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0\\ -1 & -1 & 1\\ 0 & -1 & 0 \end{pmatrix} = \mathbf R\mathbf J\mathbf R^{-1} \)
Varianta
\( \mathbf A= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 2\\ 0 & 2 & 0 & -2\\ 0 & 0 & 2 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \)Řešení
Matice má jediné vlastní číslo \(\lambda = 2\) s algebraickou násobností 4, vlastní vektory jsou nenulová řešení soustavy rovnic s maticí \[\mathbf A-\lambda \mathbf I = \begin{pmatrix} 0&1&0&2\\ 0&0&0&-2\\ 0&0&0&2\\ 0&0&0&0 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 0&1&0&0\\ 0&0&0&1\\ \end{pmatrix} \] Dimenze \(\ker(\mathbf A-\lambda \mathbf I)\) je rovna 2, takže matice \(\mathbf A\) má k vlastnímu číslu dva lineárně nezávislé vlastní vektory, volíme např. \(\mathbf x_1=(0{,}0,1{,}0)^T\) a \(\mathbf x_2=(1{,}0,0{,}0)^T\)
Pro sestavení regulární matice \(\mathbf R\) potřebujeme najít ještě další dva zobecněné vlastní vektory. Ty hledáme tak, že místo soustavy \((\mathbf A-\lambda \mathbf I)\mathbf x=\mathbf 0\) dosadíme za pravou stranu vlastní vektor (případně v dalším kroku pak zobecněný vlastní vektor), tedy řešíme soustavu s rozšířenou maticí (pro \(\mathbf x_1\)) \[\left( \begin{array}{cccc|c} 0&1&0&2&0\\ 0&0&0&-2&0\\ 0&0&0&2&1\\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right) \] která nemá řešení (viz. druhý a třetí řádek). Z toho odvodíme, že tomuto vlastnímu vektoru bude odpovídat Jordanova buňka velikosti 1.
Pro druhý vlastní vektor \(\mathbf x_2\) tím pádem musíme dopočítat dva zobecněné vlastní vektory a druhá Jordanovu buňku bude mít velikost 3. Počítáme podobně jako v předchozím případě, pravou stranu zvolíme \(\mathbf x_2\) \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 0&1&0&2&1\\ 0&0&0&-2&0\\ 0&0&0&2&0\\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c}0&1&0&0&1\\ 0&0&0&1&0\\ \end{array} \right) \] Množina řešení je afinní podprostor dimenze 2, přesněji vektory ve tvaru \((p,1,q,0)^T\). Zvolíme \(p=q=-1\) a tak \(\mathbf x_3=(-1{,}1,-1{,}0)^T\).
Dále vezmeme \(\mathbf x_3\) jako pravou stranu již mnohokrát řešené soustavy a pokračujeme \[ \left( \begin{array}{cccc|c} 0&1&0&2&-1\\ 0&0&0&-2&1\\ 0&0&0&2&-1\\ 0&0&0&0&0 \end{array} \right)\sim \left( \begin{array}{cccc|c} 0&1&0&0&0\\ 0&0&0&2&-1\\ \end{array} \right)\] s (pro další výpočet pěkným) řešením \(\mathbf x_4=(0{,}0,0,-\frac{1}{2})^T\)
Nyní můžeme sestavit matice \(\mathbf J\) a \(\mathbf R\) a poté dopočítat \(\mathbf R^{-1}\)
Uvedený výpočet nedává obecný návod pro nalezení Jordanova rozkladu, protože je třeba zajistit lineární nezávislost vektorů z různých řetízků. Zde to bylo zaručeno tím, že jedna z buněk měla velikost 1. Obecný korektní postup je předveden v následující variantě.
Výsledek
\( \mathbf J = \begin{pmatrix} 2&0&0&0\\ 0&2&1&0\\ 0&0&2&1\\ 0&0&0&2 \end{pmatrix} , \mathbf R= \begin{pmatrix} 0&1&-1&0\\ 0&0&1&0\\ 1&0&-1&0\\ 0&0&0&-\frac{1}{2} \end{pmatrix} , \mathbf R^{-1}= \begin{pmatrix} 0&1&1&0\\ 1&0&0&0\\ 0&1&1&0\\ 0&0&0&-2 \end{pmatrix} \)Varianta
\(\mathbf A= \begin{pmatrix} 0&1&0&0&-1\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&-1\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \)Řešení
Matice má jediné vlastní číslo \(\lambda=0\) s algebraickou násobností 5.
Hodnost matice \(\mathbf A\) je rovna 3, takže \(\dim(\ker A)=2\) a máme dva lineárně nezávislé vlastní vektory.
Kdybychom chtěli k vlastnímu vektoru \(\mathbf x_1\) dopočítat zobecněný vlastní vektor \(\mathbf x_2\), znamenalo by to řešit rovnici \((\mathbf A-\lambda \mathbf I)\mathbf x_2=\mathbf x_1\), což lze nahlédnout (po úpravě) jako hledání řešení rovnice \((\mathbf A-\lambda \mathbf I)^2\mathbf x_2 = (\mathbf A-\lambda \mathbf I)\mathbf x_1 = \mathbf 0\). Neboli, \(\mathbf x_2 \in \ker((\mathbf A-\lambda \mathbf I)^2) \setminus \ker(\mathbf A-\lambda \mathbf I)\) atd. pro další vektory v řetízku zobecněných vlastních vektorů.
Pro náš případ s \(\lambda=0\) spočteme \[ \mathbf A^2= \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\] a \[\mathbf A^3= \begin{pmatrix} 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\]
Je patrné, že \(\dim(\ker \mathbf A^2)=4\) a \(\dim(\ker \mathbf A^3)=5\), takže bude existovat jeden lineárně nezávislý vektor v \(\ker \mathbf A^3 \setminus \ker \mathbf A^2\), např. \(x_3=(0{,}0,0{,}0,1)^T\). Ten by měl splňovat \(\mathbf A\mathbf x_3=\mathbf x_2\), tedy dopočteme \(\mathbf x_2=(-1{,}0,-1{,}1,0)^T\) a \(\mathbf x_1=\mathbf A\mathbf x_2=(0{,}0,1{,}0,0)^T\) (což je vlastní vektor matice \(\mathbf A\)). Tím jsme určili jednu Jordanovu buňku velikosti 3.
Druhá buňka bude mít velikost 2 a opět ji budeme počítat od konce řetízku, tedy zobecněného vlastního vektoru \(\mathbf y_2\). Pro ten musí platit \(\mathbf y_2 \in \ker \mathbf A^2 \setminus \ker \mathbf A\) a je lineárně nezávislý na \(\mathbf x_2\). Zvolíme např. \(\mathbf y_2=(0{,}1,0{,}0,0)^T\) a dopočteme \(\mathbf y_1=\mathbf A\mathbf y_2=(1{,}0,0{,}0,0)^T\) (opět vlastní vektor \(\mathbf A\)).
Nyní můžeme sestavit matice \(\mathbf R\) (sloupce jsou po řadě \(\mathbf y_1,\mathbf y_2,\mathbf x_1,\mathbf x_2,\mathbf x_3\)) a \(\mathbf J\) a dopočítat inverzní matici \(\mathbf R^{-1}\)
Výsledek
\(\mathbf R= \begin{pmatrix} 1&0&0&-1&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&-1&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}\), \(\mathbf J= \begin{pmatrix} 0&1&0&0&0\\ 0&0&0&0&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1\\ 0&0&0&0&0 \end{pmatrix}\), \(\mathbf R^{-1}=\begin{pmatrix} 1&0&0&1&0\\ 0&1&0&0&0\\ 0&0&1&1&0\\ 0&0&0&1&0\\ 0&0&0&0&1 \end{pmatrix}\)
