Filtr seznamu úloh?
Škály
Štítky
«
«
Analytické vyjádření při změně báze
Úloha číslo: 2735
Kvadratická forma g na vektorovém prostoru R4 má vzhledem ke standardní bázi E analytické vyjádření g(u)=2x2−2xy+y2−2yt+t2, kde u=(x,y,z,t)T. Najděte její analytické vyjádření g(u)B vzhledem k bázi
B={(1,1,1,1)T,(0,1,1,1)T,(0,0,1,1)T,(0,0,0,1)T}.
Určete g(u) pro vektor u, který má vůči bázi B souřadnice [u]B=(3,1,0,0)T.
Nápověda
Matici \boldsymbol{A}_E formy g vůči standardní bázi vynásobíme z obou stran maticí přechodu od báze B k E a dostaneme její matici \boldsymbol{A}_B vůči bázi B.
Řešení
A_B=[id]_{BE}^{\mathrm T}\cdot A_E \cdot [id]_{BE}, čili
A_B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
Analytické vyjádření zní: g(u)_B = -2ab + c^2 + 2cd + d^2 pro [u]_B=(a, b, c, d)^{\mathrm T}.
Dosazením (3, 1, 0, 0)^{\mathrm T} za (a, b, c, d)^{\mathrm T} zjistíme, že g(u)=-6. Tentýž výsledek lze odvodit, pokud si spočítáme souřadnice u vůči E, t.j. [u]_E=(3, 4, 4, 4)^{\mathrm T}.