Analytické vyjádření při změně báze
Úloha číslo: 2735
Kvadratická forma \(g\) na vektorovém prostoru \(\mathbb R^4\) má vzhledem ke kanonické bázi \(K\) analytické vyjádření \(g(u)=2x^2+2xy-y^2-2yt-t^2\), kde \(u=(x, y, z, t)^T\). Najděte její analytické vyjádření vzhledem k bázi
\(X=\{(1, 1, 1, 1)^T,(1, 1, 1, 0)^T,(1, 1, 0, 0)^T,(1, 0, 0, 0)^T\}\).
Určete \(g(u)\) pro vektor \(u\), který má vůči bázi \(X\) souřadnice \([u]_X=(3, 1, 0, 0)^T\).
Nápověda
Matici \(B\) formy \(g\) vůči kanonické bázi vynásobíme z obou stran maticí přechodu od báze \(X\) ke \(K\) a dostaneme její matici vůči bázi \(X\).
Řešení
\( B_X=[id]_{XK}^T\cdot B_K \cdot [id]_{XK}\), čili
\( B_X=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 3 & 3 \\ 2 & 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 & 2 \\ \end{pmatrix} \)
Analytické vyjádření zní: \( g(u)_X = 4ab + 4ac + 6ad + 3b^2 + 6bc + 6bd + 3c^2 + 6cd +2 d^2 \) pro \([u]_X=(a, b, c, d)^T\).
Dosazením \((3, 1, 0, 0)^T\) za \((a, b, c, d)^T\) zjistíme, že \(g(u)=15\). Tentýž výsledek lze odvodit, pokud si spočítáme souřadnice \(u\) vůči \(K\), t.j. \([u]_K=(4, 4, 4, 3)^T\).
