Analytické vyjádření při změně báze
Úloha číslo: 2735
Kvadratická forma \(g\) na vektorovém prostoru \(\mathbb R^4\) má vzhledem ke standardní bázi \(E\) analytické vyjádření \(g(u)=2x^2-2xy+y^2-2yt+t^2\), kde \(u=(x, y, z, t)^{\mathrm T}\). Najděte její analytické vyjádření \(g(u)_B\) vzhledem k bázi
\(B=\{(1, 1, 1, 1)^{\mathrm T},(0, 1, 1, 1)^{\mathrm T},(0, 0, 1, 1)^{\mathrm T},(0, 0, 0, 1)^{\mathrm T}\}\).
Určete \(g(u)\) pro vektor \(u\), který má vůči bázi \(B\) souřadnice \([u]_B=(3, 1, 0, 0)^{\mathrm T}\).
Nápověda
Matici \(\boldsymbol{A}_E\) formy \(g\) vůči standardní bázi vynásobíme z obou stran maticí přechodu od báze \(B\) k \(E\) a dostaneme její matici \(\boldsymbol{A}_B\) vůči bázi \(B\).
Řešení
\( A_B=[id]_{BE}^{\mathrm T}\cdot A_E \cdot [id]_{BE}\), čili
\( A_B=\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix} \)
Analytické vyjádření zní: \( g(u)_B = -2ab + c^2 + 2cd + d^2\) pro \([u]_B=(a, b, c, d)^{\mathrm T}\).
Dosazením \((3, 1, 0, 0)^{\mathrm T}\) za \((a, b, c, d)^{\mathrm T}\) zjistíme, že \(g(u)=-6\). Tentýž výsledek lze odvodit, pokud si spočítáme souřadnice \(u\) vůči \(E\), t.j. \([u]_E=(3, 4, 4, 4)^{\mathrm T}\).
