Prostor kladných reálných čísel

Úloha číslo: 2493

Označme symbolem \(\mathbb R^+\) kladná reálná čísla a definujme operace \(\oplus\) na \(\mathbb R^+\) a \(\odot: \mathbb Q\times \mathbb R^+\to \mathbb R^+\) následovně: \[ u\oplus v = uv, \hspace{2cm} a\odot u = u^a \] Je \((\mathbb R^+,\oplus,\odot)\) vektorovým prostorem nad \(\mathbb Q\)?

  • Řešení

    Ano – třeba ale ověřit všechny axiomy vektorového prostoru.

    Např. (SO) za neutrální vektor volíme \(\mathbf 0=1\) a máme \( u\oplus \mathbf 0= u \oplus 1 = u\cdot 1=u\).

    Podobně v axiomu (SI) volíme za opačný vektor \(\ominus u=\frac1u\in \mathbb R^+\) a máme
    \(u\oplus (\ominus u)=u\cdot \frac1u=1=\mathbf 0\).

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze