Prostor kladných reálných čísel
Úloha číslo: 2493
Označme symbolem \(\mathbb R^+\) kladná reálná čísla a definujme operace \(\oplus\) na \(\mathbb R^+\) a \(\odot: \mathbb Q\times \mathbb R^+\to \mathbb R^+\) následovně: \(\mathbf u\oplus \mathbf v =\mathbf u\mathbf v, \ a\odot \mathbf u = \mathbf u^a \).
Je \((\mathbb R^+,\oplus,\odot)\) vektorovým prostorem nad \(\mathbb Q\)?
Řešení
Sčítání vektorů, čili \((\mathbb R^+,\oplus)=(\mathbb R^+,\cdot)\) tvoří Abelovskou grupu. Všimněte si, že její neutrální prvek, čili nulový vektor je kladné reálné číslo jedna, neboli \(\mathbf 0=1\), protože \( \mathbf u\oplus \mathbf 0=\mathbf u \oplus 1 =\mathbf u\cdot 1=\mathbf u\).
Podobně opačný vektor volíme \(\ominus\mathbf u=\frac1{\mathbf u}\in \mathbb R^+\) a máme \(\mathbf u\oplus (\ominus\mathbf u)=\mathbf u\cdot \frac1{\mathbf u}=1=\mathbf 0\).
Axiom násobení jedničkou: \(1\odot \mathbf u = \mathbf u^1=\mathbf u\).
Axiom "asociativity" skalárního násobku: \((ab)\odot \mathbf u = \mathbf u^{ab}=(\mathbf u^b)^a = a \odot ( b \odot \mathbf u)\).
Axiom "distributivity" zprava: \((a+b)\odot \mathbf u = \mathbf u^{a+b}=\mathbf u^a \cdot \mathbf u^b = (a \odot \mathbf u) \oplus (b \odot \mathbf u)\).
Axiom distributivity zleva: \(a\odot (\mathbf u \oplus \mathbf v) = (\mathbf u \mathbf v)^a=\mathbf u^a \cdot \mathbf v^a = (a \odot \mathbf u) \oplus (a \odot \mathbf v)\).
Odpověď
Ano, \((\mathbb R^+,\oplus,\odot)\) tvoří vektorový prostor nad \(\mathbb Q\).
