Sbírka matematických úloh

Soustavy - jedno řešení z více

Úloha číslo: 2369

• Varianta

  \( \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 0 & 2 & -3 \\ 7 & 6 & 10 & 7 \\ \end{pmatrix} \)

• Nápověda

  Jde o matice, u nichž byl výpočet odstupňovaného tvaru předmětem úlohy Převod na odstupňovaný tvar.

• Řešení

  Gaussovou eliminací převedeme matici \(\boldsymbol A\) do odstupňovaného tvaru.

  \( \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 0 & 2 & -3 \\ 7 & 6 & 10 & 7 \\ \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 & 5 \\ 0 & 9 & 8 & 21 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \)

  Proměnné \(x_1\) a \(x_2\) jsou bázické, a \(x_3\) a \(x_4\) jsou volné.

  Abychom získali netriviální řešení, je třeba alespoň jednu volnou proměnnou zvolit nenulovou např. \(x_3=9\). Ostatní je možné zvolit nulové, zde \(x_4=0\), a řešení dopočítat zpětnou substitucí.

• Odpověď

  Jedno z netriviálních řešení soustavy je \(\boldsymbol x=(-6,-8{,}9,0)^\mathrm{T}\).

• Varianta

  \( \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & -3 & 13 & 18 \\ 6 & -9 & 7 & 10 \\ 2 & -3 & -3 & -4 \\ \end{pmatrix} \)

• Odpověď

  Jedno z netriviálních řešení soustavy je \(\boldsymbol x=(3{,}2,0{,}0)^\mathrm{T}\).

• Varianta

  \( \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 & 1 \\ 2 & -1 & 4 & 10 \\ 1 & 0 & 3 & -5 \\ 2 & 5 & 2 & 2 \\ \end{pmatrix} \)

• Odpověď

  Soustava má pouze triviální řešení \(\boldsymbol x=\mathbf 0=(0{,}0,0{,}0)^\mathrm{T}\).

• Varianta

  \( \boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 & 2 \\ 1 & 8 & 7 & -7 \\ 1 & 2 & 3 & -1 \\ 1 & 5 & 5 & -4 \\ \end{pmatrix} \)

• Odpověď

  Jedno z netriviálních řešení soustavy je \(\boldsymbol x=(-1{,}1,0{,}1)^\mathrm{T}\).