Objem elipsoidu
Úloha číslo: 2586
Nechť lineární zobrazení \(f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3\) převádí vektory
\(\mathbf a^T=(1{,}3,1),\mathbf b^T=(1{,}0,3),\mathbf c^T=(1{,}1,1)\) na vektory
\(f(\mathbf a)^T=(3{,}1,0),f(\mathbf b)^T=(1{,}0,2),f(\mathbf c)^T=(4{,}1,5)\).
Určete objem elipsoidu \(f(B_3)\), který vznikne jako obraz jednotkové koule \(B_3\) (rozuměj koule o jednotkovém poloměru) v zobrazení \(f\).
Řešení
Linární zobrazení splňuje \(f(\mathbf u)=[f]_{KK}\mathbf u\) pro matici
\([f]_{KK}=\mathbf B\mathbf A^{-1}= \begin{pmatrix} 3 & 1 & 4 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 5 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ \end{pmatrix}^{-1} \).
Objemy těles při lineárním zobrazení se mění s koeficientem \(|\det([f]_{KK})|\), čili \(V(f(B_3))=|\det([f]_{KK})| \cdot \frac{4}{3}\pi=\frac{|\det(\mathbf B)|}{|\det(\mathbf A)|}\cdot \frac{4}{3}\pi=\pi\)
Výsledek
Objem elipsoidu je roven \(\pi\).
