Volební preference
Úloha číslo: 2647
Ve městě Pupákově jsou tři strany: Asketičtí, Bohatí a Chudí. Podrobným výzkumem se zjistilo, že 75 % z těch voličů co volilo Askety, je bude volit opět, 5 % bude volit Bohaté a 20 % Chudé. Podobně z těch co volili Bohaté zvolí 60 % opět Bohaté, 20 % Askety a 20 % Chudé. 80 % voličů Chudých je bude volit i v následujícím období, o zbylé hlasy se podělí 10 % Asketi a 10 % Bohatí.
Jak bude vypadat limitní rozložení sil v místním (řekněme stočlenném) zastupitelstvu?
Řešení
Změny počtu hlasů lze modelovat lineárním zobrazením \(f:\mathbb R^3\to\mathbb R^3\), určené maticí \(\mathbf F\). (Musí platit vztah \(\mathbf x_{t+1}=f(\mathbf x_t)=\mathbf F\mathbf x_t\), kde \(\mathbf x_t\) značí rozložení mandátů v \(t\)-tém volebním období)
\( \mathbf F=\begin{pmatrix} 0{,}75 & 0{,}20 & 0{,}10 \\ 0{,}05 & 0{,}60 & 0{,}10 \\ 0{,}20 & 0{,}20 & 0{,}80 \\ \end{pmatrix} \)
Matice \(\mathbf F\) se nazývá stochastická matice, protože má sloupcové součty rovny 1. Všimněte si, že násobení vektoru takovou maticí zachovává souřadnicový součet vektoru. Navíc obraz vektoru, jehož souřadnice jsou nezáporné, je také nezáporný.
Pro řešení úlohy musíme ověřit, že 1 je vlastní číslo matice \(\mathbf F\) a najít příslušný vlastní vektor, neboli vyřešit soustavu \(\mathbf F\mathbf x=\mathbf x\).
Zlomků se při výpočtu můžeme zbavit, když dočasně vynásobíme celou matici 20, ale na závěr musíme pomocná vlastní čísla vydělit 20.
\( \mathbf F'=\begin{pmatrix} 15 & 4 & 2 \\ 1 & 12 & 2 \\ 4 & 4 & 16 \\ \end{pmatrix} \)
Pro úplnost si spočítáme všechna vlastní čísla matic \(\mathbf F'\) a \(\mathbf F\). První dvojice je \(\lambda_1'=20\), \(\lambda_1=1\), druhá: \(\lambda_2'=12\), \(\lambda_2=12/20\) a třetí : \(\lambda_3'=11\), \(\lambda_3=11/20\).
Hledáme takový vlastní vektor příslušný k \(\lambda_1=1\), jehož souřadnice dávají v součtu 1. Dostaneme limitní řešení: \(\mathbf x = (1/3, 1/6, 1/2)^T \doteq (33\%, 17\%, 50\%)^T\)
Jak vypadají ostatní vlastní vektory? Nutně musí mít souřadnicový součet nulový, jinak by se nemohly nechat "škálovat" vlastním číslem a zároveň zachovat souřadnicový součet. (Tudíž mají alespoň jednu souřadnici zápornou.)
Řešením příslušných soustav je: \(\mathbf x=c\cdot(-2, 1, 1)^T,\mathbf x=c\cdot(-1, 1, 0)^T\).
Proč libovolné rozdělení preferencí konverguje k limitnímu? Uvažme jen podmnožinu pravděpodobnostních vektorů, t.j. vektorů z konvexního obalu kanonické báze. Tyto vektory mají součet po souřadnicích roven 1 a všechny souřadnice jsou nezáporné. Lze ukázat, že na této množině je lineární zobrazení předepsané maticí \(\mathbf F\) kontrakcí, neboli zkracuje normu rozdílu dvou takových vektorů. Při postupném aplikování zobrazení \(f\) lze vzdálenost mezi dvěma obrazy omezit shora geometrickou posloupností. Odtud už lze dokázat existenci a jednoznačnost limity, která existuje vždy, jakmile je kontrakce aplikovaná na kompaktní množině.
