Výpočet inverze
Úloha číslo: 4560
Je správně následující postup?
Při programování výpočtu inverzní matice vystačíme pouze s Gaussvou eliminací, neboli převodem na odstupňovaný tvar shora dolů, a transpozicí: Blokovou matici \((\boldsymbol A|\mathbf I)\) upravíme na \((\boldsymbol B|\mathbf C)\), kde \(\boldsymbol B\) je horní trojúhelníková s jedničkami na diagonále. Poté obě strany transponujeme na \((\boldsymbol B^{\mathrm T}|\mathbf C^{\mathrm T})\), čímž na levé straně budeme mít dolní trojúhelníkovou matici. Nakonec tuto blokovou matici upravíme opět Gaussovou eliminací na blokovou matici, kde vlevo bude jednotková matice. Vpravo pak nalezneme transpozici matice inverzní k matici \(\boldsymbol A\), takže tuto stačí transponovat a získat \(\boldsymbol A^{-1}\). Jinými slovy, druhá eliminace dává blokovou matici \((\mathbf I|(\boldsymbol A^{-1})^\mathrm{T})\).
Řešení
Označme si výslednou matici \(\boldsymbol D\) a prozkoumejme, jak závisí na \(\boldsymbol A\).
Ekvivalentní řádkové úpravy odpovídají násobení maticí zleva, a tak ze vztahu \((\boldsymbol A|\mathbf I)\sim\sim(\boldsymbol B|\boldsymbol C)\) vyplývá \(\boldsymbol{CA}=\boldsymbol B\). Podobně ze vztahu \((\boldsymbol B^\mathrm{T}|\boldsymbol C^\mathrm{T})\sim\sim(\mathbf I|\boldsymbol D^\mathrm{T})\) vyplývá \(\boldsymbol C^\mathrm{T}=\boldsymbol B^\mathrm{T}\boldsymbol D^\mathrm{T}\).
Odtud \(\boldsymbol A=\boldsymbol C^{-1}\boldsymbol B\), a tak \(\boldsymbol A^{-1}=(\boldsymbol C^{-1}\boldsymbol B)^{-1}=\boldsymbol B^{-1}\boldsymbol C\). Z druhé rovnice \(\boldsymbol C^\mathrm{T}=\boldsymbol B^\mathrm{T}\boldsymbol D^\mathrm{T}\) ovšem vyplývá \(\boldsymbol C=\boldsymbol{DB}\), a tedy i \(\boldsymbol D=\boldsymbol C\boldsymbol B^{-1}\).
Maticový součin není komutativní, proto pro konstrukci protipříkladu stačí vzít matice \(\boldsymbol B^{-1}\) a \(\boldsymbol C\), jejichž součin nekomutuje, a přitom \(\boldsymbol B\) je horní trojúhelníková a \(\boldsymbol C\) je dolní trojúhelníková. Např. pro \(\boldsymbol B=\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}\) a \(\boldsymbol C=\begin{pmatrix}1&0\\3&1\end{pmatrix}\) dostáváme \(\boldsymbol B^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2\\0&1\end{pmatrix}\) a \(\boldsymbol C^{-1}=\begin{pmatrix}1&0\\-3&1\end{pmatrix}\). Z těchto matic už sestavíme hledaný protipříklad \(\boldsymbol A=\begin{pmatrix}1&2\\-3&-5\end{pmatrix}\), přičemž \(\boldsymbol A^{-1}=\begin{pmatrix}-5&-2\\3&1\end{pmatrix}\ne\begin{pmatrix}1&-2\\3&-5\end{pmatrix}=\boldsymbol D\).
Odpověď
Tento jednoduchý a elegantní postup je, bohužel, vadný.
