Nekomutativita součinu

Úloha číslo: 2399

Pro libovolnou nesymetrickou čtvercovu matici \(\mathbf A\) zkonstruujte symetrickou matici \(\mathbf B\) tak, že jejich součin nekomutuje, t.j. \(\mathbf A\mathbf B\ne\mathbf B\mathbf A\).

Komutuje součin matic pokud jsou obě matice symetrické?

  • Nápověda

    Využijte vlatností matic z předchozího příkladu.

  • Řešení

    Úloha má více řešení.

    Například pro \(a_{i,j}\ne a_{j,i}\) můžeme vzít \(\mathbf B\) tak, aby \(b_{i,j}=b_{j,i}=1\) a \(b_{k,l}=0\) jinak. Potom se snadno ověří, že \((\mathbf A\mathbf B)_{i,i}=a_{i,j}\ne a_{j,i}=(\mathbf B\mathbf A)_{i,i}\).

    Jinou možností je vzít \(\mathbf B\) takovou, že jediný nenulový prvek je \(b_{i,i}=1\). Potom se příslušné součiny nemohou shodovat zároveň na prvcích se souřadnicemi \(i\) a \(j\). Máme mít \((\mathbf A\mathbf B)_{i,j}=0=(\mathbf B\mathbf A)_{i,j}=a_{i,j}\) a zároveň \((\mathbf B\mathbf A)_{j,i}=0=(\mathbf A\mathbf B)_{j,i}=a_{j,i}\), ale alespoň jedno z čísel \(a_{i,j}\) a \(a_{j,i}\) je nenulové.

    Ani součin symetrických matic nekomutuje, dokonce ani výsledek nemusí být symetrický, viz např.
    \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \ne \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \)

Obtížnost: Středně těžká úloha
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze