Geršgorinovy kruhy
Úloha číslo: 4368
Geršgorinova věta říká, že každé vlastní číslo je obsažené v nějakém Geršgorinovu kruhu. Naopak to ale neplatí, některé kruhy nemusí obsahovat žádné vlastní číslo.
Lze ale dokázat, že pokud Geršgorinovy kruhy rozdělíme do skupin tak, že každá skupina pokrývá souvislou oblast komplexní roviny a přitom oblasti odpovídající různým skupinám jsou disjunktní, tak potom každá oblast obsahuje tolik vlastních čísel, z kolika kruhů byla vytvořena.
Nyní pomocí Geršgorinových disků ukažte, že v komplexním oboru má následující matice alespoň dvě různá vlastní čísla, a to aniž byste hodnoty vlastních čísel spočítali:
\( \begin{pmatrix} 1&0&-2&0\\ 0&12&0&-4\\ -1&0&-1&0\\ 0&5&0&0 \end{pmatrix} \)Řešení
Z matice odvodíme čtyři kruhy v komplexní rovině o následujících středech a poloměrech:
\(\begin{array}{ll} c_1=a_{11}=1,& r_1=|a_{12}|+|a_{13}|+|a_{14}|=2\\ c_2=a_{22}=12,& r_2=|a_{21}|+|a_{23}|+|a_{24}|=4\\ c_3=a_{33}=-1,& r_3=|a_{31}|+|a_{32}|+|a_{34}|=1\\ c_4=a_{44}=0,& r_4=|a_{41}|+|a_{42}|+|a_{43}|=5 \end{array}\)
Protože jsme dostali dvě oblasti, má matice alespoň dvě různá vlastní čísla.
Ve skutečnosti by šlo spočítat, že má čtyři různá vlastní čísla: \(\lambda_1=10, \lambda_2=2, \lambda_3=\sqrt{3}\) a \(\lambda_4=-\sqrt{3}\).