Soustava nad tělesem Z7
Úloha číslo: 2469
Najděte všechna řešení soustavy s následující maticí nad tělesem \(\mathbb Z_7\):
\(\left(\begin{array}{ccc|c} 3&5&0&1\\ 1&2&2&4\\ 1&3&2&3\\ \end{array}\right)\)
Řešení
V první úpravě přičteme dvojnásobek prvního řádku k druhému i třetímu řádku, v další úpravě trojnásobek druhého řádku ke třetímu.
\[\left(\begin{array}{ccc|c} 3&5&0&1\\ 1&2&2&4\\ 1&3&2&3\\ \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c} 3&5&0&1\\ 0&5&2&6\\ 0&6&2&5\\ \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|c} 3&5&0&1\\ 0&5&2&6\\ 0&0&1&2\\ \end{array}\right) \]
Ve zpětné substituci je třeba dělit pěti, což odpovídá násobení třemi a vice versa.
Výsledek
\(\mathbf x=(2{,}6,2)^T.\)
