Sbírka matematických úloh

Nezávislost v aritmetických prostorech

Úloha číslo: 2514

• Varianta 1

  \(X_1=\{(0{,}1,2{,}1)^T,(1{,}2,0{,}0)^T,(1{,}1,2{,}0)^T,(1{,}2,1{,}1)^T\}\).

• Řešení

  Podobně jako v prvním příkladě hledáme koeficienty \(a,b,c\) a \(d\), aby platilo \(a(0{,}1,2{,}1)^T+b(1{,}2,0{,}0)^T+c(1{,}1,2{,}0)^T+d(1{,}2,1{,}1)^T=0\), což vede na homogenní soustavu lineárních rovnic s maticí: \[ \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 & 2 \\ 2 & 0 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 2 &-1 \\ 0 & 0 & 0 & -3 \\ \end{pmatrix} \] Protože výsledná matice nemá žádné volné proměnné, má soustava pouze triviální řešení a \(X_1\) je v \(\mathbb R^4\) lineárně nezávislá.

• Výsledek

  \(X_1\) je v \(\mathbb R^4\) lineárně nezávislá. Podobně \(X_1\) v \(\mathbb Z_3^4\) lineárně závislá, např. \((a,b,c,d)^T=(2{,}0,2{,}1)^T\), a v \(\mathbb Z_5^4\) je lineárně nezávislá.

• Varianta 2

  \(X_2=\{(1{,}1,2{,}0)^T,(1{,}2,1{,}1)^T,(0{,}1,2{,}1)^T,(1{,}1,0{,}0)^T\}\).

• Výsledek

  \(X_2\) je v \(\mathbb R^4\) lineárně závislá s koeficienty \((1{,}2,-2,-3)^T\), v \(\mathbb Z_3^4\) lineárně závislá s \((1{,}2,1{,}0)^T\), a v \(\mathbb Z_5^4\) lineárně závislá s \((1{,}2,3{,}2)^T\).

• Varianta 3

  \(X_3=\{(1{,}0,2{,}0)^T,(2{,}1,0{,}2)^T,(0{,}2,2{,}1)^T,(2{,}2,1{,}1)^T\}\).

• Výsledek

  \(X_3\) je v \(\mathbb R^4\) lineárně nezávislá, v \(\mathbb Z_3^4\) lineárně závislá s koeficienty \((0{,}1,2{,}2)^T\), a v \(\mathbb Z_5^4\) lineárně závislá s \((2{,}0,1{,}4)^T\).