Sbírka matematických úloh

Doplnění na bázi

Úloha číslo: 2525

• Varianta 1

  \(M=\{(1{,}2,0{,}0)^T,(2{,}1,1{,}3)^T,(0{,}1,0{,}1)^T\}\), \(V=\mathbb R^4\).

• Nápověda

  Vyberte si vhodnou pomocnou bázi, která bude obsahovat kandidáty na doplnění.

• Řešení

  Prostor \(V\) má dimenzi 4, proto je třeba rozšířit \(M\) o jeden vektor. Z věty o výměně platí, že alespoň jeden z vektorů kanonické báze je nazávislý na vektorech z \(M\). Nezávislost zjistíme současným vyřešením rovnic \(a_1u_1+a_2u_2+a_3u_3=e_i\), kde \(u_1,u_2,u_3\) jsou vektory z \(M\) a \(e_i\) jsou vektory kanonické báze.

  Dostáváme matici

  \( \left(\begin{array}{ccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \sim…\sim \left(\begin{array}{ccc|cccc} 1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & -3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & -2 & 1 & 6 & -1 \\ \end{array}\right) \)

  Protože poslední řádek obsahuje pivot ve všech sloupcích na pravé straně, vidíme, že doplněním o libovolný vektor \(e_i\) se stane množina \(M\) bazí prostoru \(\mathbb R^4\).

• Varianta 2

  \(M=\{-x^2,x+x^2,x^3-1\}\), v prostoru \(V\) reálných polynomů stupně nejvýše tři.

• Řešení

  Zkusíme doplnit \(M\) o některý vektor z kanonické báze \(1,x,x^2,x^3\). Máme matici

  \( \left(\begin{array}{ccc|cccc} 0 & 0 & -1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \sim…\sim \left(\begin{array}{ccc|cccc} -1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right) \)

  Zde vidíme, že buď \(M\cup\{1\}\) nebo \(M\cup\{x^3\}\) (a i mnoho jiných možností, které jsme však netestovali) tvoří bázi \(V\), nikoli však \(M\cup\{x\}\) nebo \(M\cup\{x^2\}\).

• Varianta 3

  \(M=\left\{ \begin{pmatrix} 0 & 3\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 2 & 0 \end{pmatrix} \right\}\) v prostoru \(V=\mathbb R^{2\times 2}\).

• Výsledek

  Z matic \(\begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix} \) lze \(M\) doplnit na bázi \(\mathbb R^{2\times 2}\) pouze o \(\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\).

  (Tyto čtyři matice odpovídají kanonické bázi, vnímáme-li \(\mathbb R^{2\times 2}\) jako \(\mathbb R^4\).)