Zobrazení v rovině

Určete matice následujících lineárních zobrazení v rovině (\(\mathbb R^2\to \mathbb R^2\)) vůči kanonické bázi \(K\).

Varianta 1
osová souměrnost podle osy 1. a 3. kvadrantu.
Řešení
Stačí určit obrazy vektorů kanonické báze \(e_1=(1{,}0)^T\) a \(e_2=(0{,}1)^T\) vůči téže bázi \(K\) při osové souměrnosti \(f\). Zřejmě \([f(e_1)]_K=f(e_1)=(0{,}1)^T\) a podobně \(f(e_2)=(1{,}0)^T\).

Z nich již snadno sestavíme matici osové souměrnosti \([f]_{KK}=\Big(f(e_1),f(e_2)\Big) = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\).
Varianta 2
otočení o \(90^\circ\) kolem počátku proti směru hodinových ručiček.
Výsledek
Matice otočení \( \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{pmatrix}\).
Varianta 3
otočení o úhel \(\alpha\) kolem počátku proti směru hodinových ručiček (první osa je vodorovná, druhá svislá).
Nápověda
Určete délky přilehlých a protilehlých odvěsen v pravoúhlém trojúhelníku daným úhlem \(\alpha\).
Výsledek
Matice otočení \( \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin\alpha \\ \sin \alpha & \cos\alpha \\ \end{pmatrix}\).
Varianta 4
projekce na první souřadnici \(p_1:(x,y)\to(x,0)\).
Výsledek
Matice projekce je \( [p_1]_{KK}= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \).