Diagonalizace symetrické matice
Úloha číslo: 4367
Symetrickou matici
\(\mathbf A=\begin{pmatrix} 1&1&1\\ 1&1&1\\ 1&1&1 \end{pmatrix}\)
diagonalizujte ve tvaru \(\mathbf A=\mathbf Q\mathbf\Lambda \mathbf Q^T\).
Řešení
Postup je stejný jako při běžné diagonalizaci matic (reálná symetrická matice má reálná vlastní čísla a je diagonalizovatelná), pouze báze složená z vlastníc vektorů musí být ortonormální.
Pro matici \(\mathbf A\) dostaneme vlastní čísla \(\lambda_{1{,}2}=0\) a \(\lambda_3=3\).
Vlastnímu číslu 0 odpovídají např. vlastní vektory \(\mathbf x_1=(1{,}0,-1)^T\) a \(\mathbf x_2=(0{,}1,-1)^T\), vlastnímu číslu 3 odpovídá vlastní vektor \(\mathbf x_3=(1{,}1,1)^T\).
Všimneme si, že vektor \(\mathbf x_3\) je kolmý na \(\mathbf x_1,\mathbf x_2\), takže ho stačí znormovat. Na vektory \(\mathbf x_1,\mathbf x_2\) je ale třeba použít Gram-Schmidtovu ortogonalizaci:
\(\begin{eqnarray*} \mathbf x_1&=&(1{,}0,-1)^T \\ \mathbf z_1&=&\frac{1}{\sqrt{2}}(1{,}0,-1)^T\\ \mathbf x_2&=&(0{,}1,-1)^T\\ \mathbf y_2&=&\mathbf x_2-\langle \mathbf x_2|\mathbf z_1\rangle \mathbf z_1=\dots = \frac{1}{1}(-1{,}2,-1)^T\\ \mathbf z_2&=&\frac{1}{\sqrt{6}}(-1{,}2,-1)^T\\ \mathbf x_3&=&(1{,}1,1)^T\\ \mathbf z_3&=&\frac{1}{\sqrt{3}}(1{,}1,1)^T \end{eqnarray*} \)Výsledek
\(\mathbf \Lambda=\begin{pmatrix} 0&0&0\\ 0&0&0\\ 0&0&3 \end{pmatrix}\), \(\mathbf Q=\frac{1}{\sqrt{6}} \begin{pmatrix} \sqrt{3}&-1&\sqrt{2}\\ 0&2&\sqrt{2}\\ -\sqrt{3}&-1&\sqrt{2} \end{pmatrix}\)
