Maticové rovnosti
Úloha číslo: 4582
Rozhodněte, zda platí následující rovnosti, pokud mají výrazy smysl.
| a) \((\boldsymbol A^\mathrm{T}+\boldsymbol B)^\mathrm{T}=\boldsymbol A+\boldsymbol B^\mathrm{T}\) | g) \((\boldsymbol A^\mathrm{T})^{-1} = (\boldsymbol A^{-1})^\mathrm{T}\) |
| b) \((\boldsymbol A^\mathrm{T}\boldsymbol B)^\mathrm{T}=\boldsymbol A\boldsymbol B^\mathrm{T}\) | h) \((\boldsymbol A\boldsymbol B\boldsymbol C)^{-1} = \boldsymbol C^{-1}\boldsymbol B^{-1}\boldsymbol A^{-1}\) |
| c) \(\boldsymbol A+t\boldsymbol B=t(\boldsymbol B+\tfrac{1}{t}\boldsymbol A)\) | i) \(\boldsymbol A^\mathrm{T}\boldsymbol A^{-1} = \boldsymbol A^{-1}\boldsymbol A^\mathrm{T}\) |
| d) \((\boldsymbol A+\boldsymbol B)^\mathrm{T}\boldsymbol C^\mathrm{T}=(\boldsymbol C\boldsymbol B)^\mathrm{T}+(\boldsymbol C\boldsymbol A)^\mathrm{T}\) | j) \((\boldsymbol A+\boldsymbol A^{-1})(\boldsymbol A-\boldsymbol A^{-1})=\boldsymbol A^2-(\boldsymbol A^2)^{-1}\) |
| e) \(\boldsymbol A^\mathrm{T}\mathbf I=\mathbf I\boldsymbol A^\mathrm{T}\) | k) \(\mathbf I+\boldsymbol A+\boldsymbol A^2+\boldsymbol A^3=(\boldsymbol A-\mathbf I)^{-1}(\boldsymbol A^4-\mathbf I)\) |
| f) \((\boldsymbol A^\mathrm{T})^n=(\boldsymbol A^n)^\mathrm{T}\) pro \(n\in\mathbb N\) | l) \((\boldsymbol A+\boldsymbol B^{-1})(\boldsymbol A^{-1}+\boldsymbol B)=\boldsymbol A\boldsymbol B+2\mathbf I+(\boldsymbol A\boldsymbol B)^{-1}\) |
Pokud se odvoláte na pravidlo dokázané dříve, zapište ho a pokud možno i pojmenujte.
Řešení
a) Např. \( (\boldsymbol A^\mathrm{T}+\boldsymbol B)^\mathrm{T}= (\boldsymbol A^\mathrm{T})^\mathrm{T}+\boldsymbol B^\mathrm{T}= \boldsymbol A+\boldsymbol B^\mathrm{T} \)
První rovnost odpovídá pravidlu pro transpozici součtu, druhá pro dvojí transpozici téže matice.
Varianty b-l) obdobně, pouze i) neplatí např. pro \(\boldsymbol A= \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \\ \end{pmatrix} \).
