Shoda afinních prostorů
Úloha číslo: 4462
Řešení
\(\Leftarrow\): Pro libovolný vektor \(\boldsymbol{w}\in U\) platí, že \(\boldsymbol{u}+U = (\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w})+U\), protože pro libovolný vektor \(\boldsymbol{z}\) z vektorového prostoru, v němž je \(U\) podprostorem a \(u+U\) afinním podprostorem, platí ekvivalence: \(\boldsymbol{z}-\boldsymbol{u}\in U \Leftrightarrow \boldsymbol{z}-\boldsymbol{u}- \boldsymbol{w}\in U \Leftrightarrow \boldsymbol{z}-(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{w})\in U\).
Dosadíme-li \(\boldsymbol{w}=\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}\), dostaneme \(\boldsymbol{u}+U = (\boldsymbol{u}+(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}))+U=\boldsymbol{v}+U\) a ze vztahu \(U=V\) máme bezprostředně \(\boldsymbol{v}+ U=\boldsymbol{v}+V\).
\(\Rightarrow\): Platí, že \(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}+\mathbf{e} \in \boldsymbol{v}+V\) a z předpokladu \(\boldsymbol{v}+V=\boldsymbol{u}+ U\) je \(\boldsymbol{v}\in \boldsymbol{u}+U\) a odtud \(\boldsymbol{v}-\boldsymbol{u}\in U\).
Využijeme ekvivalenci z předchozího důkazu obrácené implikace i stejné dosazení a dostaneme \(\boldsymbol{v}+U =\boldsymbol{u}+U =\boldsymbol{v}+V\). Nyní pro každý vektor \(\boldsymbol{z}\) platí \(\boldsymbol{z} \in U \Leftrightarrow \boldsymbol{z}+\boldsymbol{v}\in \boldsymbol{v}+U \Leftrightarrow \boldsymbol{z}+\boldsymbol{v}\in \boldsymbol{v}+V \Leftrightarrow \boldsymbol{z} \in V\), čili \(U=V\).
