Filtr seznamu úloh?
Zvolte požadované hodnoty úrovní a požadované štítky. V obsahu budou zobrazeny pouze úlohy mající jednu ze zvolených úrovní každé škály a alespoň jeden štítek. Pokud chcete filtrovat pouze podle některých škál nebo jen podle štítků, nechte ostatní skupiny prázdné.
Škály
Obtížnost
Štítky
Typ úlohy
«
«
Součtové vzorce
Úloha číslo: 2552
Odvoďte součtové vzorce pro sin(α+β) a cos(α+β) užitím matic zobrazení.
Nápověda
Použijte vztah pro výpočet matice složeného zobrazení.
Řešení
Jsou-li f a g zobrazení otočení o úhel α a β, pak jejich matice jsou:
[f]KK=(cosα−sinαsinαcosα) a [g]KK=(cosβ−sinβsinβcosβ)
Složení zobrazení f a g je otočení o úhel α+β s maticí:
[g∘f]KK=(cos(α+β)−sin(α+β)sin(α+β)cos(α+β))
Zároveň musí platit:
[g∘f]KK=[g]KK[f]KK=(cosβ−sinβsinβcosβ)(cosα−sinαsinαcosα)==(cosβcosα−sinβsinα−cosβsinα−sinβcosαsinβcosα+cosβsinα−sinβsinα+cosβcosα)
Porovnáním obou matic získáme kýžené součtové vzorce:
sin(α+β)=sinβcosα+cosβsinα,
cos(α+β)=−sinβsinα+cosβcosα.