Součtové vzorce
Úloha číslo: 2552
Odvoďte součtové vzorce pro \(\sin(\alpha+\beta)\) a \(\cos(\alpha+\beta)\) užitím matic zobrazení.
Nápověda
Použijte vztah pro výpočet matice složeného zobrazení.
Řešení
Jsou-li \(f\) a \(g\) zobrazení otočení o úhel \(\alpha\) a \(\beta\), pak jejich matice jsou:
\([f]_{KK}= \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin\alpha \\ \sin \alpha & \cos\alpha \\ \end{pmatrix}\) a \([g]_{KK}= \begin{pmatrix} \cos \beta & -\sin\beta \\ \sin \beta & \cos\beta \\ \end{pmatrix}\)
Složení zobrazení \(f\) a \(g\) je otočení o úhel \(\alpha+\beta\) s maticí:
\([g\circ f]_{KK}= \begin{pmatrix} \cos (\alpha+\beta) & -\sin(\alpha+\beta) \\ \sin (\alpha+\beta) & \cos(\alpha+\beta) \\ \end{pmatrix}\)
Zároveň musí platit:
\([g\circ f]_{KK}=[g]_{KK}[f]_{KK}= \begin{pmatrix} \cos \beta & -\sin\beta \\ \sin \beta & \cos\beta \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin\alpha \\ \sin \alpha & \cos\alpha \\ \end{pmatrix} =\\= \begin{pmatrix} \cos\beta\cos\alpha -\sin\beta\sin\alpha & -\cos\beta\sin\alpha -\sin\beta\cos\alpha \\ \sin\beta\cos\alpha +\cos\beta\sin\alpha & -\sin\beta\sin\alpha +\cos\beta\cos\alpha \\ \end{pmatrix} \)
Porovnáním obou matic získáme kýžené součtové vzorce:
\(\sin (\alpha+\beta) = \sin\beta\cos\alpha +\cos\beta\sin\alpha\),
\(\cos(\alpha+\beta) = -\sin\beta\sin\alpha +\cos\beta\cos\alpha\).
