Deflace největšího vlastního čísla
Úloha číslo: 4369
Aplikujte větu o deflaci největšího vlastního čísla na matici:
\(\begin{pmatrix} 1&2&1&2\\ 2&1&2&1\\ 1&2&1&2\\ 2&1&2&1 \end{pmatrix}\)Řešení
Matice \(\mathbf A\) má vlastní čísla 6, 0 (dvojnásobné) a \(-2\). Vlastnímu číslu \(\lambda_1=6\) odpovídá vlastní vektor \(\mathbf x_1=(1{,}1,1{,}1)^T\), znormujeme ho na \(\mathbf z_1=\frac12(1{,}1,1{,}1)^T\).
Deflací dostaneme matici \(\mathbf A'= \mathbf A - \lambda_1 \mathbf z_1 \mathbf z_1^T = \begin{pmatrix} 1&2&1&2\\ 2&1&2&1\\ 1&2&1&2\\ 2&1&2&1 \end{pmatrix} - 6\cdot \frac12 \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix} \cdot \frac12 \begin{pmatrix} 1&1&1&1 \end{pmatrix} =\frac12 \begin{pmatrix} -1&1&-1&1\\ 1&-1&1&-1\\ -1&1&-1&1\\ 1&-1&1&-1 \end{pmatrix}\)
Matice \(\mathbf A'\) má vlastní čísla 0 (trojnásobné) a \(-2\) a stejné vlastní vektory jako matice \(\mathbf A\).
