Matice splňující zadanou rovnost
Úloha číslo: 2474
Najděte matici \(\mathbf A\), která nad tělesem \(\mathbb Z_5\) splňuje rovnost \[\mathbf A \cdot \begin{pmatrix} 4 & 4 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \]
Nápověda
Z rovnosti \(\mathbf A \cdot \mathbf B = \mathbf C\) vyjádřete matici \(\mathbf A\).
Řešení
Levou matici v rovnici označme \(\mathbf B\) a pravou označme \(\mathbf C\). Máme tedy rovnost \(\mathbf A \cdot \mathbf B = \mathbf C\). Je-li matice \(\mathbf B\) regulární, pak musí platit \(\mathbf A = \mathbf A \cdot (\mathbf B \cdot \mathbf B^{-1}) = (\mathbf A \cdot \mathbf B) \cdot \mathbf B^{-1} = \mathbf C \cdot \mathbf B^{-1}\). Nejprve určíme inverzní matici \(\mathbf B^{-1}\).
\[\begin{multline*} \left( \begin{array}{cccc|cccc} 4 & 4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 3 & 1 & 2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 3 & 2 & 3 & 4 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|cccc} 4 & 4 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 2 & 3 & 1 & 3 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|cccc} 0 & 4 & 0 & 0 & 1 & 4 & 2 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 4 & 4 \\ 2 & 3 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 1 \\ \end{array} \right) \sim \\ \left( \begin{array}{cccc|cccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 1 & 3 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 4 & 4 \\ 2 & 0 & 0 & 0 & 3 & 2 & 3 & 1 \\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 2 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 3 & 0 & 0 & 4 & 4 \\ \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|cccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 4 & 1 & 4 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 4 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 3 & 4 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 4 & 2 & 2 & 3 \\ \end{array} \right) \end{multline*}\]
Matice \(\mathbf B\) je tedy regulární, proto můžeme matici \(\mathbf A\) spočítat vynásobením matic \(\mathbf C\) a \(\mathbf B^{-1}\).
\[\mathbf A = \mathbf C \cdot \mathbf B^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 2 & 2 \\ 2 & 3 & 1 & 3 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 4 & 1 & 4 & 3 \\ 4 & 1 & 3 & 0 \\ 3 & 4 & 3 & 0 \\ 4 & 2 & 2 & 3 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix} \]
Výsledek
\(\mathbf A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 2 & 0 \\ \end{pmatrix} \)
