Báze trigonometrických funkcí
Úloha číslo: 2534
V prostoru reálných spojitých funkcí nad \(\mathbb R\) uvažujme podprostor generovaný funkcemi \(\sin^2(x)\), \(\sin(2x)\), \(\cos^2(x), \cos(2x)\) a \(f(x) = 1\). Najděte bázi tohoto podprostoru.
Řešení
Funkce \(\cos(2x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\) a \(\cos^2(x) = 1 - \sin^2(x)\) jsou lineárně závislé na funkcích \(M = \{f(x), \sin(2x), \sin^2(x)\}\). Dokážeme, že funkce z \(M\) jsou nezávislé. Kdyby funkce z \(M\) byly lineárně závislé, pak by existovala netriviální lineární kombinace \(a,b,c \in \mathbb R\) taková, že pro všechna \(x \in \mathbb R\) platí
\(a f(x) + b \sin(2x) + c \sin^2(x) = 0 \hspace{1cm} (1).\)
Dokážeme, že neexistuje netriviální lineární kombinace \(a,b,c \in \mathbb R\) taková, že pro všechna \(x \in \{0, \pi/4, \pi/2\}\) platí (1).
Protože matice
\(\begin{array}{c|ccc} x & 0 & \pi/4 & \pi/2 \\\hline f(x)=1 & 1 & 1 & 1 \\ \sin(2x) & 0 & 1 & 0 \\ \sin^2(x) & 0 & 1/2 & 1 \end{array}\)
má hodnost tři, má podle Frobeniovy věty má soustava tří rovnic, vzniklá dosazením \(x \in \{0, \pi/4, \pi/2\}\) do (1) pouze triviální řešení \(a,b,c=0\).
Výsledek
Hledanou bázi tvoří např. \(f(x), \sin(2x)\) a \(\sin^2(x)\).
