Součin s regulární maticí
Úloha číslo: 4440
Ukažte, že pro hermitovskou matici \(\boldsymbol A\) a regulární matici \(\boldsymbol R\) stejného řádu platí, že
\(\boldsymbol A\) je pozitivně definitní, právě když \(\boldsymbol R\boldsymbol A\boldsymbol R^H\) je pozitivně definitní.
Řešení 1
Bez újmy na obecnosti stačí dokázat jen jednu implikaci, protože pokud \(\boldsymbol B=\boldsymbol R\boldsymbol A\boldsymbol R^H\), pak \(\boldsymbol A=\boldsymbol S\boldsymbol B\boldsymbol S^H\) pro \(\boldsymbol S = \boldsymbol R^{-1}\).
Platí \(\boldsymbol x^H\boldsymbol R\boldsymbol A \boldsymbol R^H\boldsymbol x= \boldsymbol y^H\boldsymbol A \boldsymbol y> 0\) pro \(\boldsymbol y= \boldsymbol R^H\boldsymbol x\).
Řešení 2
Opět dokazujeme jen jednu implikaci. Rozklad \(\boldsymbol A=\boldsymbol L\boldsymbol L^H\) dává rozklad \(\boldsymbol R\boldsymbol A\boldsymbol R^H=\boldsymbol R\boldsymbol L\boldsymbol L^H\boldsymbol R^H=(\boldsymbol R\boldsymbol L)(\boldsymbol R\boldsymbol L)^H\).
