Dělitelnost determinantu

Úloha číslo: 2581

Čísla 697, 476 a 969 jsou dělitelná 17. Bez přímého výpočtu dokažte, že determinant matice \( \begin{pmatrix} 6 & 9 & 7\\ 4 & 7 & 6\\ 9 & 6 & 9\\ \end{pmatrix} \) je dělitelný 17.

  • Řešení

    Plyne z linearity determinantu vůči každému řádku. Čísla 697, 476 a 969 dostaneme, když stonásobek prvního a desetinásobek druhého sloupce přičeteme ke třetímu sloupci.

    Formálně: \( \begin{vmatrix} 6 & 9 & 7\\ 4 & 7 & 6\\ 9 & 6 & 9\\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 6 & 9 & 697\\ 4 & 7 & 476\\ 9 & 6 & 969\\ \end{vmatrix} = 17\cdot \begin{vmatrix} 6 & 9 & \frac{697}{17}\\[1ex] 4 & 7 & \frac{476}{17}\\[1ex] 9 & 6 & \frac{969}{17}\\ \end{vmatrix} \)

    Poslední matice je celočíselná a má tedy celočíselný determinant.

Obtížnost: Snadná úloha (řešená úvahou nebo přímo z definic)
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze