Prostor zobrazení

Úloha číslo: 2494

Nechť \(X\) je libovolná neprázdná množina a \((\mathbb K,+,\cdot)\) je těleso.

Označme \(\mathbb K^X\) množinu všech zobrazení \(f: X\to \mathbb K\).

Definujme součet \(\oplus\) na \(\mathbb K^X\) a součin \(\odot:\mathbb K\times \mathbb K^X \to \mathbb K^X\) následovně:

\[(f \oplus g)(x)=f(x)+g(x),\qquad\qquad (a \odot f)(x)=a\cdot f(x).\]

  • Varianta 1

    Ukažte, že \((\mathbb K^X,\oplus,\odot)\) je vektorový prostor.

  • Varianta 2

    Jaký vektorový prostor získáme, je-li \(X\) konečná?

  • Varianta 3

    Jaký vektorový prostor získáme, je-li \(X=\mathbb N\)?

  • Varianta 4

    Jaký vektorový prostor získáme, je-li \(\mathbb K,X=\mathbb R\)?

Obtížnost: Středně těžká úloha
Úloha na dokazování, ověřování
En translation
	Zaslat komentář k úloze