Musíme ověřit všechny axiomy. Dvě zobrazení jsou shodná, shodují-li se na obrazech všech prvků množiny \(X\). Proto platí:
(SA) \(\forall f,g,h\in \mathbb K^X, \forall x\in X: ((f\oplus g)\oplus h)(x)=(f\oplus g)(x)+h(x)=\\ =(f(x)+g(x))+h(x)=f(x)+(g(x)+h(x)) =f(x)+(g\oplus h)(x)=(f\oplus(g\oplus h))(x)\).
(SK) \(\forall f,g\in \mathbb K^X, \forall x\in X: (f\oplus g)(x) =f(x)+g(x)=g(x)+f(x)=\\ =(g\oplus f)(x)\).
(S0) volíme nulový vektor \(\mathbf 0\) tak, že \(\forall x\in X:\mathbf 0(x)=0\).
Potom \(\forall f\in \mathbb K^X, \forall x\in X: (f\oplus \mathbf 0)(x) =f(x)+\mathbf 0(x)=f(x)+0=f(x)\).
(SI) volíme opačný vektor \(\ominus f\) tak, že \(\forall x\in X:(\ominus f)(x)=-f(x)\).
Potom \(\forall f\in \mathbb K^X, \forall x\in X: (f\oplus (\ominus f))(x) =f(x)+(\ominus f)(x)=f(x)-f(x)=\\ =0=\mathbf 0(x)\).
(NA) \(\forall f\in \mathbb K^X, \forall a,b\in \mathbb K, \forall x\in X: (a\odot(b\odot f))(x)= a(b\odot f)(x)=\\ =a(bf(x))=(ab)f(x)=((ab)\odot f)(x)\).
(N1) \(\forall f\in \mathbb K^X, \forall x\in X: (1\odot f)(x)= 1f(x)=f(x)\).
(D1) \(\forall f\in \mathbb K^X, \forall a,b\in \mathbb K, \forall x\in X: ((a+b)\odot f))(x)=(a+b)f(x)=af(x)+bf(x)\\ =(a\odot f)(x)+(b\odot f)(x)=((a\odot f)\oplus (b\odot f))(x)\).
(D2) \(\forall f,g\in \mathbb K^X, \forall a\in \mathbb K, \forall x\in X: (a\odot (f\oplus g))(x)=a(f\oplus g)(x)=\\ =a(f(x)+g(x))=af(x)+ag(x) =(a\odot f)(x)+(a\odot g)(x) =((a\odot f)\oplus (a\odot g))(x)\).
