Soustava s pozitivně definitní maticí
Úloha číslo: 2722
Spočtěte Choleského rozklad matice \(\mathbf A\) a použijte ho k řešení soustavy \(\mathbf A\mathbf x = (10, 21, -32, 26, 23)^T\).
\( \mathbf A=\begin{pmatrix} 1& 2& -3& 2& 1\\ 2& 5& -6& 3& 2\\ -3& -6& 10& -5& -3\\ 2& 3& -5& 15& 11\\ 1& 2& -3& 11& 14 \end{pmatrix} \)
Nápověda
Pro rozklad \(\boldsymbol A=\boldsymbol U^{\mathrm H}\boldsymbol U\boldsymbol x\) zaveďte substituci \(\boldsymbol{Ux}=\boldsymbol y\).
Řešení
Hledaný rozklad je \( \boldsymbol U= \begin{pmatrix} 1& 2&-3& 2& 1\\ 0& 1& 0&-1& 0\\ 0& 0& 1& 1& 0\\ 0& 0& 0& 3& 3\\ 0& 0& 0& 0& 2 \end{pmatrix} \).
Soustava \(\boldsymbol U^{\mathrm H}\boldsymbol y=\boldsymbol b\) dává \(\boldsymbol y=(10, 1, -2, 3, 2)^{\mathrm T}\) a \(\boldsymbol{Ux}=\boldsymbol y\) dává \(\boldsymbol x=(1, 1, -2, 0, 1)^{\mathrm T}\).
Protože matice obou soustav jsou v odstupňovaném tvaru, stačí provést jen dvakrát zpětnou substituci.
Výsledek
Řešením soustavy je \( \boldsymbol x=(1, 1, -2, 0, 1)^{\mathrm T} \).
