Afinnní obal řešení soustav rovnic
Úloha číslo: 2370
Ukažte, že jsou-li \(\mathbf x=(x_1,x_2,…,x_n)^T\) a \(\mathbf x'=(x_1',x_2',…,x_n')^T\) dvě řešení dané soustavy lineárních rovnic, je také řešením i \(\alpha\mathbf x+(1-\alpha)\mathbf x'=(\alpha x_1+ (1-\alpha) x_1',\alpha x_2+ (1-\alpha) x_2',…,\alpha x_n+ (1-\alpha) x_n')^T\) pro libovolné reálné číslo \(\alpha\). Zobecněte tuto úvahu i pro více různých řešení \(\mathbf x,\mathbf x',…,\mathbf x^{(k)}\) dané soustavy.
Řešení
Libovolnou rovnici soustavy \(a_{i1}x_1 + … + a_{in}x_n = b_i\) splňuje i nové řešení \((\alpha x_1+ (1-\alpha) x_1',\alpha x_2+ (1-\alpha) x_2',…,\alpha x_n+ (1-\alpha) x_n')^T\), neboť
\(a_{i_1}(\alpha x_1+ (1-\alpha) x_1')+…+a_{in}(\alpha x_n+ (1-\alpha) x_n')=\)
\(= \alpha (a_{i1}x_1 + … + a_{in}x_n) + (1-\alpha)(a_{i1}x_1' + … + a_{in}x_n')= \alpha b_i + (1-\alpha) b_i = b_i\)Obecně lze vzít libovolnou afinní kombinaci známých řešení \(\mathbf x,\mathbf x',…,\mathbf x^{(k)}\), a to \(\alpha_0 \mathbf x + \alpha_1 \mathbf x' + … + \alpha_k \mathbf x^{(k)}\) kde koeficienty splňují \(\alpha_0 + … + \alpha_k = 1\).
