Rovinné transformace
Úloha číslo: 2405
Spočtěte součin matic \[ \begin{pmatrix} \cos \alpha& -\sin \alpha\\ \sin \alpha& \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \beta& -\sin \beta\\ \sin \beta& \cos \beta \end{pmatrix} \]
a vysvětlete jaký je význam těchto matic jednotlivě a jejich součinu.
Nápověda
Vzpomeňte si na souštové vzorce o goniometrických funkcích součtu úhlů.
Řešení
\( \begin{pmatrix} \cos \alpha& -\sin \alpha\\ \sin \alpha& \cos \alpha \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos \beta& -\sin \beta\\ \sin \beta& \cos \beta \end{pmatrix} =\\ \begin{pmatrix} \cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha\sin\beta & -\cos\alpha \sin\beta -\sin\alpha\cos\beta\\ \cos\alpha \sin\beta +\sin\alpha\cos\beta & \cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha\sin\beta \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos (\alpha+\beta)& -\sin (\alpha+\beta)\\ \sin (\alpha+\beta)& \cos (\alpha+\beta) \end{pmatrix} \)
Každá z matic reprezentuje rovinnou transformaci otočení o příslušný úhlel kolem počátku.
