Cayleyova-Hamiltonova věta pro diagonalizovatelné matice
Úloha číslo: 4465
Řešení
Předpokládejme, že \(\boldsymbol{A}=\boldsymbol{R}\boldsymbol{D}\boldsymbol{R}^{-1}\), kde \(\boldsymbol{D}\) je diagonální. Každá mocnina \(\boldsymbol{D}^k\) diagonální matice \(\boldsymbol{D}\) je diagonální a má na diagonále \((\boldsymbol{D}^k)_{jj}=d_{jj}^k\) neboli mocniny vlastních čísel \(d_{jj}\).
Pro \(p_\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A})=\sum\limits_{i=0}^n b_i\boldsymbol{A}^i\) platí \(p_\boldsymbol{A}(\boldsymbol{A})=p_\boldsymbol{A}(\boldsymbol{R}\boldsymbol{D}\boldsymbol{R}^{-1}) =\sum\limits_{i=0}^n b_i(\boldsymbol{R}\boldsymbol{D}\boldsymbol{R}^{-1})^i =\sum\limits_{i=0}^n b_i\boldsymbol{R}\boldsymbol{D}^i\boldsymbol{R}^{-1} =\boldsymbol{R}\Bigl(\sum\limits_{i=0}^n b_i\boldsymbol{D}^i\Bigr)\boldsymbol{R}^{-1} =\boldsymbol{R}\boldsymbol{0}\boldsymbol{R}^{-1} =\boldsymbol{0} \), protože matice \(\sum\limits_{i=0}^n b_i\boldsymbol{D}^i\) má na diagonále jako \(j\)-tý prvek \(p_\boldsymbol{A}(d_{jj})=0\).
