Podprostor matic
Úloha číslo: 2532
Nechť \(V\) je množina reálných symetrických čtvercových matic řádu tři s nulami na hlavní diagonále.
Ukažte, že \(V\) tvoří podprostor \(\mathbb R^{3\times 3}\). Určete dimenzi prostoru \(V\) a sestavte nějakou jeho bázi.
Řešení
Jsou-li \(A,B\in V\) tak potom matice \(\alpha A\) i \(A+B\) mají nuly na diagonále: \((\alpha A)_{i,i}=\alpha a_{i,i}=\alpha 0 =0\), \((A+B)_{i,i}=a_{i,i}+b_{i,i}=0+0=0\).
Součet i násobek symetrických matic zůstávají symetrické: \((\alpha A)_{i,j}=\alpha a_{i,j}=\alpha a_{j,i}=(\alpha A)_{j,i}\), \((A+B)_{i,j}=a_{i,j}+b_{i,j}=a_{j,i}+b_{j,i}=(A+B)_{j,i}\).
Součet i násobek se zachovávají na \(V\), jde tedy o podprostor.
Je-li \(A\) matice z prostoru \(V\), pak její prvky splňují \(a_{1{,}1}=a_{2{,}2}=a_{3{,}3}=0\), \(a_{1{,}2}=a_{2{,}1}\), \(a_{1{,}3}=a_{3{,}1}\) a \(a_{2{,}3}=a_{3{,}2}\).
Množinu řešení této soustavy lze popsat pomocí tří parametrů následovně:
\(A= a_{1{,}2} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + a_{1{,}3} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} + a_{2{,}3} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ \end{pmatrix} \).Odtud \(\dim(V)=3\) a tři výše uvedené matice lze vzít za bázi \(V\).
