Součet dvou řešení
Úloha číslo: 4566
Najděte alespoň jedno řešení soustavy \(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol b\) a alespoň jedno netriviální řešení \(\boldsymbol y\) soustavy \(\boldsymbol{Ax}=\mathbf 0\) a ověřte, že \(\boldsymbol x+\boldsymbol y\) je řešením soustavy \(\boldsymbol{Ax}=\boldsymbol b\). Uvažte následující matici a vektor:
\(\boldsymbol A= \begin{pmatrix} 2 & 3 & -1 & -4 \\ 1 & -1 & 7 & 0 \\ 2 & -4 & 20 & 2 \\ 1 & 0 & 4 & -1\end{pmatrix} \), \(\boldsymbol b=(-9, 5, 18, 1)^{\mathrm T}\).Řešení
Rozšířenou matici soustavy převedeme Gaussovou–Jordanovou eliminací na redukovaný odstupňovaný tvar: \((\boldsymbol A|\boldsymbol b)= \left( \begin{array}{cccc|c} 2 & 3 & -1 & -4 & -9 \\ 1 & -1 & 7 & 0 & 5 \\ 2 & -4 & 20 & 2 & 18 \\ 1 & 0 & 4 & -1 & 1 \end{array}\right) \sim\sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 4 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -3 & 0 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right) \)
Řešení \(\boldsymbol x=(2, -3, 0, 1)^{\mathrm T}\) je v posledním sloupci a řešení \(\boldsymbol y=(4, -3, -1, 0)^{\mathrm T}\) odpovídá třetímu sloupci při dosazení \(y_3=-1\).
Ověření řešení \(\boldsymbol x+\boldsymbol y=(-2, 0, 1, 1)^{\mathrm T}\) lze provést výpočtem maticového součinu \(\boldsymbol A(\boldsymbol x+\boldsymbol y)\).
