Poslední vlastní číslo
Úloha číslo: 2646
U matice
\( \begin{pmatrix} 10 & 0 & 7 & -7 \\ 4 & 5 & 2 & -2 \\ 16 & 4 & 15 & -8 \\ 30 & 4 & 26 & -19 \\ \end{pmatrix} \)
známe tři vlastní čísla a to \(3, -4\) a \(5\). Dopočítejte zbylé vlastní číslo.
Řešení
Nejpracnější způsob: vydělit charakteristický polynom lineárními polynomy odpovídajícími známým vlastním číslům.
Jednodušší, ale stále pracný postup: využít faktu že součin vlastních čísel je determinant matice. (Lze odvodit dosazením 0 do charakteristického polynomu.)
Nejjednodušší způsob: použít fakt, že součet vlastních čísel je roven součtu prvků na diagonále, (Plyne z koeficientu u členu \(t^{n-1}\) v charakteristickém polynomu.)
Výsledek
Zbývající vlastní číslo je 7.
