Axiomy tělesa

Z axiomů odvoďte, že pro počítání v tělese \(\mathbb K\) platí:

Varianta 1
Pro \(a,b\in \mathbb K\) má rovnice \(a+x=b\) jednoznačné řešení \(x\in \mathbb K\).
Řešení
Kdyby \(x\) i \(\bar x\) řešila \(a+x=b \), potom \(x= x+0 = x+a-a = b-a = \bar x + a -a = \bar x + 0 = \bar x\). Existence \(x\) plyne z \(x=b-a\).
Varianta 2
Pokud \(a+b=a+c\), potom \(b=c\).
Výsledek
\(b = b+0 = b+a-a = c+a-a= c+0 = c\).
Varianta 3
Jednotka a inverzní prvky jsou určeny jednoznačně.
Řešení
Kdyby \(1\) i \(\bar 1\) byly jednotky, potom \(1=\bar 1 {\cdot} 1 = 1 \cdot\bar 1 = \bar 1\).

Podobně kdyby \(a^{-1}\) a \(\bar a^{-1}\) byly inverzní k \(a\), potom \(a^{-1}= a^{-1}\cdot 1 = a^{-1}\cdot a \cdot \bar a^{-1}= \bar a^{-1}\cdot a \cdot a^{-1}= \bar a^{-1}\cdot 1 = \bar a^{-1}\).
Varianta 4
Pro všechna \(a\in \mathbb K\) platí \((-1)a=-a\).
Řešení
\((-1)a=(-1)a+0=(-1)a+(a-a)=((-1)a+1a)-a=(-1+1)a-a=0a-a=-a\).