Sbírka matematických úloh

Choleského rozklad

Úloha číslo: 2721

• Varianta 1

  \( \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix} \)

• Nápověda

  Zkuste použít větu, že \(\mathbf A_0=\begin{pmatrix} \alpha & \mathbf a^T\\ \mathbf a & \mathbf A'\\ \end{pmatrix}\) je pozitivně definitní, pokud \(\alpha>0\) a \(\mathbf A_1=\mathbf A'-\frac{1}{\alpha}\mathbf a\mathbf a^T\) je pozitivně definitní.

  Pro Choleského rozklad, postupujte podle následujícího předpisu pro \(k=1,…,n\). (Uvědomte si, že algoritmus je přímočarý, víme-li, jak se má násobení \(\mathbf U^T\mathbf U\) projevit v \(\mathbf A\)). Postupně vyplňujeme řádky \(\mathbf U\):

  \( u_{i,i}=\sqrt{a_{ii}-\sum_{k=1}^{i-1} u_{ki}^2} \) (nevyjde-li kladné číslo, není matice pozitivně definitní)
  a pro každé \(i\) a \(j=i+1,…,n\)
  \( u_{i,j}=\frac{1}{u_{i,i}}\Bigl(a_{i,j}-\sum_{k=1}^{i-1}u_{k,j}u_{k,i}\Bigr) \)

• Řešení

  \(\mathbf A_1= \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 4\\ \end{pmatrix} -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0\\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3/2 & 0\\ 0 & 4\\ \end{pmatrix} \). V dalším kroku dostaneme \(\mathbf A_2=(4)\) a protože oba koeficienty \(\alpha\) byly kladné, je matice \(\mathbf A\) pozitivně definitní.

  Totéž lze spočítat Gaussovou eliminací, kde zakážeme prohazování řádků, násobení řádku skalárem a eliminujeme jen následující řádky (tedy "shora dolů"). \[ \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & \frac{3}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix} \] Prvky na diagonále jsou kladné, matice je pozitivně definitní.

  Výpočet pomocí determinantů
  \( \begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ \end{vmatrix} =12>0 \), \( \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \\ \end{vmatrix} =3>0 \), \(|2|>0\).
  Všechny determinanty jsou kladné, matice je pozitivně definitní.

  Pro matici \(\mathbf A\) dostaneme
  \(u_{1{,}1}=\sqrt{a_{1{,}1}}=\sqrt{2}\)
  \(u_{1{,}2}=\frac{1}{u_{1{,}1}}(a_{1{,}2})=\frac{1}{\sqrt{2}}(1)=\frac{\sqrt{2}}{2}\)
  \(u_{1{,}3}=\frac{1}{u_{1{,}1}}(a_{1{,}3})=\frac{1}{\sqrt{2}}(0)=0\)
  \(u_{2{,}2}=\sqrt{a_{2{,}2}-u_{1{,}2}^2}=\sqrt{2-\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}\)
  \(u_{2{,}3}=\frac{1}{u_{2{,}2}}(a_{2{,}3}-u_{1{,}2}u_{1{,}3})=\frac{2}{\sqrt{6}}(0-1{\cdot} 0)=0\)
  \(u_{3{,}3}=\sqrt{a_{3{,}3}-u_{1{,}3}^2-u_{2{,}3}^2}=\sqrt{4-0^2-0^2}=2\)

• Výsledek

  Matice \(\mathbf A\) je pozitivně definitní a její Choleského rozklad \(\mathbf A=\mathbf U^T\mathbf U\) je dán maticí \(\mathbf U= \begin{pmatrix} \sqrt{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{\sqrt{6}}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ \end{pmatrix}\).

• Varianta 2

  \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 8 & 4 & 2\\ 1 & 4 & 11 & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 2 \\ \end{pmatrix} \)

• Výsledek

  Matice je pozitivně definitní a její Choleského rozklad je dán maticí \( \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

• Varianta 3

  \( \begin{pmatrix} 4 & 2 & 2 & 0 \\ 2 & 2 & 4 & 1\\ 2 & 4 & 10 & 3 \\ 0 & 1 & 3 & 6 \\ \end{pmatrix} \)

• Výsledek

  Matice není pozitivně definitní. Je jen pozitivně semidefinitní, a je rovna např. součinu \(\mathbf U^T\mathbf U\) pro \(\mathbf U= \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \sqrt{5} \\ \end{pmatrix}\)

  (Těchto rozkladů dané matice lze nalézt více.)

• Varianta 4

  \( \begin{pmatrix} 4 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 & 0\\ 0 & 3 & 10 & 1 \\ 2 & 0 & 1 & 3 \end{pmatrix} \)

• Výsledek

  Matice je pozitivně definitní a její Choleského rozklad je dán maticí \( \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}\)

• Varianta 5

  \( \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1 & 1 & -1\\ -2 & 8 & -2 & -4 & 8\\ 1 & -2 & 2 & 3 & -1\\ 1 & -4 & 3 & 15 & -1\\ -1 & 8 & -1 & -1 & 15 \end{pmatrix} \)

• Výsledek

  Matice je pozitivně definitní a její Choleského rozklad je dán maticí \(\begin{pmatrix} 1&-2& 1& 1&-1\\ 0& 2& 0&-1& 3\\ 0& 0& 1& 2& 0\\ 0& 0& 0& 3& 1\\ 0& 0& 0& 0& 2 \end{pmatrix}\)