Polární báze nad Z5
Úloha číslo: 4476
Řešení
Matice dané kvadratické formy (vzhledem ke standardní bázi) je \(\begin{pmatrix} 2 &4 &3\\ 4 &4 &3\\ 3 &3 &0 \end{pmatrix} \).
Nyní diagonalizujeme pomocí řádkových a sloupcových úprav a na pravé straně provádíme pouze řádkové úpravy.
\(\left(\begin{array}{ccc|ccc} 2& 4& 3& 1& 0& 0\\ 4& 4& 3& 0& 1& 0\\ 3& 3& 0& 0& 0& 1 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} 2& 0& 3& 1& 0& 0\\ 0& 1& 2& 3& 1& 0\\ 3& 2& 0& 0& 0& 1 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} 2& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 2& 3& 1& 0\\ 0& 2& 3& 1& 0& 1 \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{ccc|ccc} 2& 0& 0& 1& 0& 0\\ 0& 1& 0& 3& 1& 0\\ 0& 0& 4& 0& 3& 1 \end{array}\right) \)
Řádky pravé strany výsledné matice tvoří hledanou polární bázi.
Odpověď
Hledanou polární bázi tvoří vektory \((1, 0, 0)^{\mathrm T}, (3, 1, 0)^{\mathrm T}\) a \( (0, 3, 1)^{\mathrm T}\).
