Sbírka matematických úloh

Soustavy s jedním řešení - pořadí sloupců

Úloha číslo: 2368

• Varianta

  \[ \begin{alignat*}{9}%{rrrrrr} 17 x_1&{}+{}&9 x_2&{}-{}&9 x_3&{}+{}&3x_4&{}={}& -8 \\ 11 x_1& & &{}+{}&2 x_3& & &{}={}& -7 \\ 13 x_1&{}+{}&2 x_2&{}-{}& x_3& & &{}={}& -9 \\ 7 x_1&{}+{}&3 x_2&{}-{}&5 x_3&{}+{}& x_4&{}={}& -8 \end{alignat*} \]

• Řešení

  \[\begin{multline*} \left( \begin{array}{cccc|c} 17 & 9 & -9 & 3 & 8 \\ 11 & 0 & 2 & 0 & -7 \\ 13 & 2 & -1 & 0 & -9 \\ 7 & 3 & -5 & 1 & -8 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c} -4 & 0 & 6 & 0 & 16 \\ 11 & 0 & 2 & 0 & -7 \\ 13 & 2 & -1 & 0 & -9 \\ 7 & 3 & -5 & 1 & -8 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c} -37& 0 & 0 & 0 & 37 \\ 11 & 0 & 2 & 0 & -7 \\ 13 & 2 & -1 & 0 & -9 \\ -25& 0 & -7 & 2 & 11 \end{array} \right) \sim \\ \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 4 \\ 0 & 2 & -1 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & -7 & 2 & 14 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 6 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 0 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{array} \right) \end{multline*}\]

• Odpověď

  Řešení soustavy je \(\boldsymbol x =(-1, 3, 2, 0)^\mathrm{T}\).

• Varianta

  \[ \begin{alignat*}{9} 17 x_1&{}+{}& 8 x_2&{}+{}& 4 x_3&{}+{}& 7 x_4 &{}={}& 30 \\ {}-11 x_1& & & & &{}+{}& 3 x_4 &{}={}& -2 \\ 7 x_1&{}+{}& 2 x_2&{}+{}& x_3&{}-{}& 2 x_4 &{}={}& -1 \\ 13 x_1&{}+{}& 6 x_2& & &{}-{}& 2 x_4 &{}={}& 7 \end{alignat*} \]

• Řešení

  \[\begin{multline*} \left( \begin{array}{cccc|c} 17 & 8 & 4 & 7 & 30 \\ -11 & 0 & 0 & 3 & -2 \\ 7 & 2 & 1 & -2 & -1 \\ 13 & 6 & 0 & -2 & 7 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c} -11 & 0 & 0 & 15 & 34 \\ -11 & 0 & 0 & 3 & -2 \\ 7 & 2 & 1 & -2 & -1 \\ 13 & 6 & 0 & -2 & 7 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 12 & 36 \\ -11 & 0 & 0 & 3 & -2 \\ 8 & 0 & 3 & -4 & -10 \\ 13 & 6 & 0 & -2 & 7 \end{array} \right) \sim \\ \left( \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ -11 & 0 & 0 & 0 & -11 \\ 8 & 0 & 3 & 0 & 2 \\ 13 & 6 & 0 & 0 & 13 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 3 & 0 & -6 \\ 0 & 6 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right) \sim \left( \begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ \end{array} \right) \end{multline*} \]

• Odpověď

  Řešení soustavy je \(\boldsymbol x =(1, 0, -2, 3)^\mathrm{T}\).