Součin speciálních matic

Ukažte, že platí:

Varianta 1
Matice \(\mathbf A\mathbf A^T\) je vždy symetrická.
Řešení
Prvky \((\mathbf A\mathbf A^T)_{ij}\) a \((\mathbf A\mathbf A^T)_{ji}\) jsou rovny "součinu" \(i\)-tého a \(j\)-tého řádku matice \(\mathbf A\), proto jsou shodné.
Varianta 2
Každá matice typu \(m \times n\) splňuje \(\mathbf I_m\mathbf A=\mathbf A=\mathbf A\mathbf I_n\).
Řešení
Součin \((\mathbf I_m\mathbf A)_{ij}\) vybere z \(j\)-tého sloupce matice \(\mathbf A\) \(i\)-tý prvek neboli \(a_{ij}\).

Pro součin s maticí \(I_n\) platí podobný argument.
Varianta 3
Součin regulárních matic je regulární.
Řešení
Jsou-li \(\mathbf A\) a \(\mathbf B\) regulární, potom existují \(\mathbf A^{-1}\) a \(\mathbf B^{-1}\) a platí

\((\mathbf A\mathbf B)(\mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1})= \mathbf A(\mathbf B\mathbf B^{-1})\mathbf A^{-1}= \mathbf A(\mathbf I_n)\mathbf A^{-1}= \mathbf A\mathbf A^{-1}= \mathbf I_n\).

Čili \(\mathbf B^{-1}\mathbf A^{-1}\) je inverzní k \(\mathbf A\mathbf B\) a proto je \(\mathbf A\mathbf B\) regulární matice.