Sbírka matematických úloh

Rozšiřování ortonormálních bazí

Úloha číslo: 4354

• Řešení

  Gaussovou eliminací spočítáme, že matice \(\mathbf A\) má hodnost \(4\), tudíž \(\dim(\ker(\mathbf A))=1\) a zpětnou substitucí získáme \(\ker(\mathbf A)=\mathcal L (\{(6{,}0,2{,}3,0)^T\})\).

  Po normalizaci dostáváme ortonormální bázi jádra \(X_1=\left\{\left(\frac{6}{7},0,\frac{2}{7},\frac{3}{7},0\right)^T\right\}\).

  Doplníme-li \(X_1\) na bázi \(\mathbb R^5\) např. pomocí druhého až pátého vektoru kanonické báze a provedeme Gram-Schmidtovu ortonormalizaci, dostaneme rozšíření báze \(Y_1=\left\{ \mathbf e^2, \left(\frac{-4}{\sqrt{245}},0,\frac{15}{\sqrt{245}},\frac{-2}{\sqrt{245}},0\right)^T, \left(\frac{-1}{\sqrt{5}},0{,}0,\frac{2}{\sqrt{5}},0\right)^T, \mathbf e^5 \right\}\)

  Pro získání ortonormální báze \(\mathcal R(\mathbf A)\) aplikujeme Gram-Schmidtovu ortonormalizaci na řádky matice \(\mathbf A\), čímž získáme bázi \(Y_2=\left\{ \left(\frac{2}{7} , 0 , \frac{3}{7} , \frac{-6}{7} , 0 \right)^T, \left(\frac{-3}{7} , 0 , \frac{6}{7} , \frac{2}{7} , 0 \right)^T, \left(0 , \frac{4}{5} , 0 , 0 , \frac{3}{5} \right)^T, \left(0 , \frac{-3}{5} , 0 , 0 , \frac{4}{5}\right)^T \right\}\).

  Pro její doplnění na ortonormální bázi \(\mathbb R^5\) stačí vzít nějaký vektor lineárně nezávislý na vektorech \(Y_2\) např. vektor \(\mathbf e^5\) a Gram-Schmidtovu ortonormalizací z něj získat rozšíření \(X_2=\left\{\left(\frac{6}{7},0,\frac{2}{7},\frac{3}{7},0\right)^T\right\}\)

  Protože \(\ker(\mathbf A)\) je ortogonálním doplňkem \(\mathcal R(\mathbf A)\), platí, že je \(Y_2\) bazí \(\mathcal R(\mathbf A)\) a také, že \(X_2\) je bazí \(\ker(\mathbf A)\) (v našem případě dokonce \(X_1=X_2\)).

  Ve skutečnosti by bylo možné za bázi \(\mathcal R(\mathbf A)\) vzít i \(Y_3=\left\{ \left(\frac{2}{7} , 0 , \frac{3}{7} , \frac{-6}{7} , 0 \right)^T, \left(\frac{-3}{7} , 0 , \frac{6}{7} , \frac{2}{7} , 0 \right)^T, \mathbf e^2, \mathbf e^5\right\}\).