Matice 3 x 3

Nalezněte vlastní čísla a odpovídající vlastní vektory matic nad tělesem \(\mathbb C\). Určete, zdali jsou tyto matice diagonalizovatelné.

Varianta 1
\( \begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix} \)
Nápověda
Matice je diagonalizovatelná právě když prostory vlastních vektorů mají dimenze rovny algebraickým násobnostem příslušných vlastních čísel.

Toto platí např. když je řádu \(n\) a má \(n\) různých vlastních čísel.
Výsledek
\(\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=-1\), \(\mathbf x=c\cdot(1, 1, -1)^T\).

Není diagonalizovatelná.
Varianta 2
\( \begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix} \)
Výsledek
\(\lambda_1=2\), \(\mathbf x=c\cdot(1, 0, 0)^T\); \(\lambda_2=1\), \(\mathbf x=c\cdot(1, 0, 1)^T\); \(\lambda_3=-1\), \(\mathbf x=c\cdot(0, 1, -1)^T\);

Je diagonalizovatelná.
Varianta 3
\( \begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 \\ -1 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix} \)
Výsledek
\(\lambda_1=\lambda_2=3\), \(\mathbf x=c\cdot(1, -2, 1)^T\); \(\lambda_3=0\), \(\mathbf x=c\cdot(4, 4, 1)^T\);

Není diagonalizovatelná.