Sbírka matematických úloh

Matice 3 x 3

Úloha číslo: 2643

• Varianta 1

  $\begin{pmatrix} 2 & -1 & 2 \\ 5 & -3 & 3 \\ -1 & 0 & -2 \\ \end{pmatrix}$

• Nápověda

  Matice je diagonalizovatelná právě když prostory vlastních vektorů mají dimenze rovny algebraickým násobnostem příslušných vlastních čísel.

  Toto platí např. když je řádu $n$ a má $n$ různých vlastních čísel.

• Výsledek

  $\lambda_1=\lambda_2=\lambda_3=-1$, $\mathbf x=c\cdot(1, 1, -1)^T$.

  Není diagonalizovatelná.

• Varianta 2

  $\begin{pmatrix} 2 & -1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ \end{pmatrix}$

• Výsledek

  $\lambda_1=2$, $\mathbf x=c\cdot(1, 0, 0)^T$; $\lambda_2=1$, $\mathbf x=c\cdot(1, 0, 1)^T$; $\lambda_3=-1$, $\mathbf x=c\cdot(0, 1, -1)^T$;

  Je diagonalizovatelná.

• Varianta 3

  $\begin{pmatrix} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & -4 \\ -1 & 0 & 4 \\ \end{pmatrix}$

• Výsledek

  $\lambda_1=\lambda_2=3$, $\mathbf x=c\cdot(1, -2, 1)^T$; $\lambda_3=0$, $\mathbf x=c\cdot(4, 4, 1)^T$;

  Není diagonalizovatelná.