Sbírka matematických úloh

Souřadnice vektoru v prostoru funkcí

Úloha číslo: 2530

• Varianta 1

  \(f(x)=x^4-1\).

• Řešení

  Řěšíme rovnici \(a_1(x^4+x^3)+a_2(x^3+x^2)+a_3(x^2+x)+a_4(x+1)+a_5(x^4+1)=x^4-1\), což vede na soustavu o pěti rovnicích

  \( \begin{array}{ccccccccccl} a_1&&&&&&&+&a_5&=&1\\ a_1&+&a_2&&&&&&&=&0\\ &&a_2&+&a_3&&&&&=&0\\ &&&&a_3&+&a_4&&&=&0\\ &&&&&&a_4&+&a_5&=&-1\\ \end{array} \)

  Sloupce odpovídají vektorům báze, řádky mocninám \(x\). Všimněte si, že všechny varianty by šly vyřešit úpravami jedné matice s více pravými stranami.

• Výsledek

  \([f]_X=(a_1,a_2,a_3,a_4,a_5)^T=(1,-1{,}1,-1{,}0)^T\).

• Varianta 2

  \(f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1\).

• Výsledek

  \([f]_X=(\frac12,\frac12,\frac12,\frac12,\frac12)^T\).

• Varianta 3

  \(f(x)=x^4+x^2+1\).

• Výsledek

  \([f]_X=(-\frac12,\frac12,\frac12,-\frac12,\frac32)^T\).

• Varianta 4

  \(f(x)=x^3+x\).

• Výsledek

  \([f]_X=(1{,}0,0{,}1,-1)^T\)