Soustava s parametrem
Úloha číslo: 2374
Vzhledem k parametru \(a\) řešte soustavu rovnic s maticí:
\[\left(\begin{array}{cccc|c} a&1&1&1&1\\ 1&a&1&1&1\\ 1&1&a&1&1\\ 1&1&1&a&1\\ \end{array}\right)\]
Nápověda
Je možné řešit eliminací, pouze je potřeba dát pozor na možné dělení nulou při nevhodných řádkových úpravách a pro určitou hodnotu \(a\).
Řešení
V první úpravě zaměníme první a poslední řádek a eliminujeme první sloupec. V další úpravě přičteme druhý a třetí sloupec k poslednímu.
\(\left(\begin{array}{cccc|c} a&1&1&1&1\\ 1 & a & 1 & 1 & 1\\ 1 & 1 & a & 1 & 1\\ 1 & 1 & 1 & a & 1\\ \end{array}\right)\sim \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & a & 1\\ 0 & a-1 & 0 & 1-a & 0\\ 0 & 0 & a-1 & 1-a & 0\\ 0 & 1-a & 1-a & 1-a^2 & 1-a\\ \end{array}\right)\sim\\ \left(\begin{array}{cccc|c} 1 & a & 1 & 1 & 1\\ 0 & a-1 & 0 & 1-a & 0\\ 0 & 0 & a-1 & 1-a & 0\\ 0 & 0 & 0 & (a+3)(1-a) & 1-a\\ \end{array}\right) \)
Pak již jen zbývá rozlišit případy \(a=-3\) a \(a=1\).
Výsledek
Je-li \(a=1\), pak je řešením soustavy množina \(\{(1-p-q-r,p,q,r)^T\mid p,q,r\in\mathbb R\}\).
Pro \(a=-3\) soustava nemá řešení.
Jinak je řešením vektor \((\frac{1}{a+3},\frac{1}{a+3},\frac{1}{a+3},\frac{1}{a+3})^T\).
