Soustavy s nejvýše jedním řešení

Úloha číslo: 2367

Vyřešte následující soustavu lineárních rovnic a proveďte zkoušku:

Varianta
\[\begin{alignat*}{7}3 x_1 &+& 2x_2 &+& x_3 &=\ & 5 \\ 2 x_1 &+& 3x_2 &+& x_3 &=\ & 1 \\ 2 x_1 &+& x_2 &+& 3x_3 &=\ & 11\\ 5 x_1 &+& 5x_2 &+& 2x_3 &=\ & 6 \end{alignat*}\]
Řešení
Zapíšeme rozšířenou matici soustavy a převedeme ji na odstupňovaný tvar: \[ \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 5 \\ 2 & 3 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 11 \\ 5 & 5 & 2 & 6 \\ \end{array} \end{pmatrix} \sim\sim \begin{pmatrix} \begin{array}{ccc|c} 3 & 2 & 1 & 5 \\ 0 &-1 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 6 & 18 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{array} \end{pmatrix} \] Zpětnou substitucí získáme řešení: \(\mathbf x=(2,-2{,}3)^\mathrm{T}\).

Zkoušku provedeme dosazením do původních rovnic soustavy.

\[\begin{alignat*}{9} 3 {\cdot} 2 &{}+{}& 2\cdot (-2) &{}+{}& 3 &{}={}& 6-4+3 &{}={}& 5 \\ 2 {\cdot} 2 &{}+{}& 3\cdot (-2) &{}+{}& 3 &{}={}& 4-6+3 &{}={}& 1 \\ 2 {\cdot} 2 &{}+{}& (-2) &{}+{}& 3{\cdot} 3 &{}={}& 4-2+9 &{}={}& 11\\ 5 {\cdot} 2 &{}+{}& 5\cdot (-2) &{}+{}& 2{\cdot} 3 &{}={}& 10-10+6 &{}={}& 6 \end{alignat*} \]
Odpověď
Řešením soustavy je \(\mathbf x=(2,-2{,}3)^\mathrm{T}\).
Varianta
\[\begin{alignat*}{9}- x_1 &+& x_2 &+& 3x_3 & & &=\ & -2 \\ 2x_1 &-& x_2 &-& 6x_3 &+& x_4 &=\ & 2 \\ - x_1 &+& x_2 &+& 4x_3 & & &=\ & -2 \\ & & x_2 &+& 2x_3 &+& 2x_4 &=\ & 0 \\ \end{alignat*}\]
Odpověď
Řešením soustavy je \(\mathbf x=(-2,-4{,}0,2)^\mathrm{T}\).
Varianta
\[\begin{alignat*}{9} - x_1 &{}-{}& x_2 &{}+{}& 2 x_3 & & &{}={}& 1 \\ 2 x_1 &{}+{}& 3x_2 &{}-{}& 4 x_3 &{}+{}& 3 x_4 &{}={}& 1 \\ x_1 &{}+{}& x_2 &{}-{}& x_3 &{}+{}& 2 x_4 &{}={}& 2 \\ &{}-{}& x_2 &{}+{}& 2 x_3 &{}+{}& 2 x_4 &{}={}& 5 \\ \end{alignat*}\]
Odpověď
Řešením soustavy je \(\mathbf x=(0,-3,-1{,}2)^\mathrm{T}\).
Varianta
\[\begin{alignat*}{9} 3 x_1 &{}-{}& x_2 &{}-{}& x_3 &{}-{}& 2x_4 &{}={}& -4 \\ 2 x_1 &{}+{}& 3x_2 &{}+{}& 5x_3 &{}+{}& 2x_4 &{}={}& -3 \\ 2 x_1 &{}+{}& 3x_2 &{}-{}& x_3 &{}-{}& x_4 &{}={}& -6 \\ x_1 &{}+{}& x_2 &{}+{}& 2x_3 &{}+{}& 3x_4 &{}={}& 1 \\ x_1 &{}+{}& 2x_2 &{}+{}& 3x_3 &{}-{}& x_4 &{}={}& -4 \end{alignat*}\]
Odpověď
Řešením soustavy je \(\mathbf x=(-1,-1{,}0,1)^\mathrm{T}\).
Varianta
\[ \begin{alignat*}{9}%{rcrcrcrcr} 10 x_1 &{}+{}& 23x_2 &{}+{}& 17x_3 &{}+{}& 44x_4 &{}={}& 25 \\ 15 x_1 &{}+{}& 35x_2 &{}+{}& 26x_3 &{}+{}& 69x_4 &{}={}& 40 \\ 25 x_1 &{}+{}& 57x_2 &{}+{}& 42x_3 &{}+{}& 108x_4 &{}={}& 65 \\ 30 x_1 &{}+{}& 69x_2 &{}+{}& 51x_3 &{}+{}& 133x_4 &{}={}& 95 \end{alignat*} \]
Odpověď
Soustava nemá řešení.
Varianta
\[ \begin{alignat*}{9}%{rcrcrcrcr} 36 x_1 &{}-{}& 23x_2 &{}+{}& 29x_3 &{}-{}& 43x_4 &{}={}& 3 \\ 45 x_1 &{}-{}& 28x_2 &{}+{}& 34x_3 &{}-{}& 52x_4 &{}={}& 9 \\ 35 x_1 &{}-{}& 21x_2 &{}+{}& 28x_3 &{}-{}& 45x_4 &{}={}& 16 \\ 46 x_1 &{}-{}& 32x_2 &{}+{}& 36x_3 &{}-{}& 48x_4 &{}={}& -18 \end{alignat*} \]
Odpověď
Řešením soustavy je \(\mathbf x=(1{,}2,-4,-3)^\mathrm{T}\).
Varianta
\[\begin{alignat*}{11} 2 x_1 &{}+{}& 2 x_2 &{}+{}& 8 x_3 &{}-{}& 3 x_4 &{}+{}& 9 x_5 &{}={}& 2 \\ 2 x_1 &{}+{}& 2 x_2 &{}+{}& 4 x_3 &{}-{}& x_4 &{}+{}& 3 x_5 &{}={}& 2 \\ x_1 &{}+{}& x_2 &{}+{}& 3 x_3 &{}-{}& 2 x_4 &{}+{}& 3 x_5 &{}={}& 1 \\ 3 x_1 &{}+{}& 3 x_2 &{}+{}& 5 x_3 &{}-{}& 2 x_4 &{}+{}& 3 x_5 &{}={}& 1 \end{alignat*}\]
Odpověď
Soustava nemá řešení.
Varianta
\[ \begin{alignat*}{11}%{rcrcrcrcrcr} 2 x_1 &{}+{}& x_2 &{}-{}& 4 x_3 &{}+{}& 6 x_4 &{}-{}& 4 x_5 &{}={}& -4 \\ 5 x_1 &{}+{}& 5 x_2 & & &{}+{}& 8 x_4 &{}-{}& x_5 &{}={}& -7 \\ 2 x_1 &{}-{}& x_2 &{}+{}& 3 x_3 &{}-{}& 4 x_4 &{}+{}& 2 x_5 &{}={}& 8 \\ x_1 &{}+{}& 2 x_2 &{}-{}& 3 x_3 &{}+{}& 4 x_4 &{}-{}& x_5 &{}={}& -1 \\ x_1 &{}-{}& x_2 &{}-{}& x_3 &{}+{}& 2 x_4 &{}-{}& 3 x_5 &{}={}& -3 \\ 3 x_1 &{}+{}& x_2 &{}-{}& x_3 &{}+{}& 2 x_4 &{}-{}& x_5 &{}={}& 3 \end{alignat*} \]
Odpověď
Řešením soustavy je \(\mathbf x=(2{,}0,-2,-2{,}1)^\mathrm{T}\).