Sbírka matematických úloh

Nezávislost v prostoru funkcí

Úloha číslo: 2515

• Varianta 1

  \(\{2x-1,x-2, 3x\}\).

• Řešení

  Označme si \(f(x)=2x-1, g(x)=x-2\) a \(h(x)=3x\). Hledáme \(a,b,c\), aby platilo \(a\cdot f + b\cdot g + c \cdot h = 0\), kde na pravé straně je nulový vektor v tomto prostoru, čili konstantní funkce, které je rovna nule ve všech bodech.

  Dvě funkce jsou si rovny pokud se shodují ve všech bodech, čili pro všechna \(x\in \mathbb R\) má platit \(a(2x-1)+b(x-2)+c(3x)=(2a+b+3c)x+(-a-2b)=0\), což vede k soustavě \(2a+b+3c=0, -a-2b=0\).

  Ta má netriviální řešení např. \((a,b,c)^T=(-2{,}1,1)^T\).

• Výsledek

  \(\{2x-1,x-2, 3x\}\) je lineárně závislá množina.

• Varianta 2

  \(\{x^2+2x+3, x+1, x-1\}\).

• Výsledek

  \(\{x^2+2x+3, x+1, x-1\}\) je lineárně nezávislá množina.

• Varianta 3

  \(\{\sin(x), \cos(x)\}\).

• Řešení

  Rovnice \(a\sin(x)+b\cos(x)=0\) pro \(x=0\) dává \(b=0\), podobně pro \(x=\frac\pi2\) máme \(a=0\).

• Výsledek

  \(\{\sin(x), \cos(x)\}\) je lineárně nezávislá množina.

• Varianta 4

  \(\{\sin(x+1), \sin(x+2)\, \sin(x+3)\}\).

• Nápověda

  Použijte součtový vzorec pro \(\sin(x+y)\).

• Řešení

  Platí
  \(\sin(x+1)=\sin(x)\cos(1)+\cos(x)\sin(1)\),
  \(\sin(x+2)=\sin(x)\cos(2)+\cos(x)\sin(2)\),
  \(\sin(x+3)=\sin(x)\cos(3)+\cos(x)\sin(3)\).

  Odtud pro test lineární nezávislosti máme \(a_1\sin(x+1)+a_2\sin(x+2)+a_3\sin(x+3)=\\ \Big(a_1\cos(1)+a_2\cos(2)+a_3\cos(3)\Big)\sin(x)+ \Big(a_1\sin(1)+a_2\sin(2)+a_3\sin(3)\Big)\cos(x)\).

  Protože \(\sin(x)\) a \(\cos(x)\) jsou lineárně nezávislé (z předchozí varianty) je výraz výše identicky nulová funkce právě když
  \(a_1\cos(1)+a_2\cos(2)+a_3\cos(3)=0\) a zároveň
  \(a_1\sin(1)+a_2\sin(2)+a_3\sin(3)=0\).
  To je homogenní soustava dvou rovnic o třech neznámých, která musí mít netriviální řešení.

  Jedno takové řešení je například \((a_1,a_2,a_3)^T=\\\left( \cos(2)\sin(3)-\cos(3)\sin(2), \cos(3)\sin(1)-\cos(1)\sin(3), \cos(1)\sin(2)-\cos(2)\sin(1) \right)^T=\\\left(\sin(1),-\sin(2),\sin(1)\right)^T \)

• Výsledek

  \(\{\sin(x+1), \sin(x+2)\, \sin(x+3)\}\) je lineárně závislá množina.

• Varianta 5

  \(\{\ln(x),\log(2x),\log_2(x^2)\}\).
  (T.j. jde o přirozený, dekadický a binární logaritmus.)

• Řešení

  Platí \(\log(2x)=\frac{\ln x+\ln 2}{\ln 10}\), \(\log_2(x^2)=\frac{2\ln x}{\ln 2}\).

  V rovnici \(a_1\ln(x)+a_2 \log(2x)+ a_3 \log_2(x^2)=0\) jsou první a poslední člen vzájemnými násobky.

  Rovnice má netriviální řešení, např. \((a_1,a_2,a_3)^T=(-2{,}0,\ln 2)^T\)

• Výsledek

  \(\{\ln(x),\log(2x),\log_2(x^2)\}\) je lineárně závislá množina.