Norma součtu
Úloha číslo: 2682
Mějme dva kolmé vektory \(\mathbf u\) a \(\mathbf v\). Dále nechť \(\left\| \mathbf u \right\| = 12, \left\| \mathbf v \right\| = 5\). Určete \(\left\| \mathbf u + \mathbf v \right\|\) a \(\left\| \mathbf u - \mathbf v \right\|\).
Nápověda
Kolmost znamená, že \(\langle \mathbf u|\mathbf v \rangle=0\). Dále užijte rozepsání normy na skalární součin a axiomy skalárního součinu.
Řešení
Normy nám říkají, že \(\langle \mathbf u|\mathbf u \rangle=144\) a \(\langle \mathbf v|\mathbf v \rangle=25\).
Nyní máme \( \left\| \mathbf u + \mathbf v \right\| = \sqrt{ \langle \mathbf u+\mathbf v|\mathbf u+\mathbf v \rangle } = \sqrt{ \langle \mathbf u|\mathbf u+\mathbf v \rangle + \langle \mathbf v |\mathbf u+\mathbf v \rangle } = \sqrt{ \overline{\langle \mathbf u+\mathbf v|\mathbf u \rangle} + \overline{\langle \mathbf u+\mathbf v|\mathbf v \rangle}} = \)
\( \sqrt{ \overline{\langle \mathbf u|\mathbf u \rangle} + \overline{\langle \mathbf v|\mathbf u \rangle} + \overline{\langle \mathbf u|\mathbf v \rangle} + \overline{\langle \mathbf v|\mathbf v \rangle} } = \sqrt{ 144 + 25 } = 13 \).Výsledek
\(\left\| \mathbf u + \mathbf v \right\| = 13\), \(\left\| \mathbf u - \mathbf v \right\| = 13\).
