Odvození matice přechodu
Úloha číslo: 2555
Ukažte, že platí \([id]_{AB}=([id]_{BK})^{-1}[id]_{AK}\).
Nápověda
Použijte větu o matici složeného zobrazení.
Řešení
Do vztahu \([g\circ f]_{XZ}=[g]_{YZ}[f]_{XY}\) dosadíme \(f=g=id\), \(X=A\), \(Y=K\) a \(Z=B\), čímž dostaneme \([id]_{AB}=[id]_{KB}[id]_{AK}\).
Matice přechodu od libovolné báze k té samé bázi je jednotková matice \([id]_{BB}=\mathbf I_n\), protože se vektory (zobrazení je \(id\)) a tím pádem ani souřadnice nemění (báze je stejná).
Opětovným dosazením \(f=g=id\), \(X=Z=B\) a \(Y=K\) dostaneme \([id]_{KB}[id]_{BK}=[id]_{BB}=\mathbf I_n\). Odtud \([id]_{KB}=([id]_{BK})^{-1}\), protože obě matice jsou čtvercové (obě báze jsou stejně velké).
Substitucí \([id]_{KB}=([id]_{BK})^{-1}\) do \([id]_{AB}=[id]_{KB}[id]_{AK}\) dostaneme kýžený vztah.
