ON báze a Fourierovy koeficienty
Úloha číslo: 4429
Nechť \(\mathbf{b}_1 = \Bigl(\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3},\frac1{\sqrt3}\Bigr)^T\), \(\mathbf{b}_2 = \Bigl(\frac1{\sqrt2},-\frac1{\sqrt2},0\Bigr)^T\), \(\mathbf{b}_3 = \Bigl(\frac1{\sqrt6},\frac1{\sqrt6},-\frac2{\sqrt6}\Bigr)^T\), jsou vektory v reálném aritmetickém vektorovém prostoru \(\mathbb R^3\) se standardním skalárním součinem.
- Ověřte, že \(B = \{\mathbf{b}_1, \mathbf{b}_2, \mathbf{b}_3\}\) je ortonormální báze \(\mathbb R^3\),
- spočítejte souřadnice vektorů \((0, 0, 1)^T\), \((2, 1, 0)^T\) a \((1, 2, 3)^T\) vzhledem k ortonormální bázi \(B\),
- určete ortogonální projekce vektorů \((0, 0, 1)^T\) a \((2, 1, 0)^T\) do podprostoru \(\mathcal L(\{\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2\})\)
Řešení
Označme matici \(\mathbf{B}= (\mathbf{b}_1,\mathbf{b}_2,\mathbf{b}_3)= \begin{pmatrix} \frac1{\sqrt3} & \frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt6}\\ \frac1{\sqrt3} & -\frac1{\sqrt2} & \frac1{\sqrt6}\\ \frac1{\sqrt3} & 0 & -\frac2{\sqrt6} \end{pmatrix} \)
Stačí ověřit součinem, že \(\mathbf{B}^T\mathbf{B}=\mathbf I\).
Řešení
Souřadnice, zde Fourierovy koeficienty získáme buďte postupně skalárním součinem s vektory báze \(B\)
\([(0{,}0,1)^T]_B= (\langle(0{,}0,1)^T|\mathbf{b}_1\rangle, \langle(0{,}0,1)^T|\mathbf{b}_2\rangle, \langle(0{,}0,1)^T|\mathbf{b}_3\rangle)^T =\Bigl(\frac1{\sqrt3},0,-\frac2{\sqrt6}\Bigr)^T\) a podobně
\([(2{,}1,0)^T]_B=\Bigl(\sqrt3,\frac1{\sqrt2},\sqrt{\frac32}\Bigr)^T\),
\([(1{,}2,3)^T]_B=\Bigl(2\sqrt3,-\frac1{\sqrt2},-\sqrt{\frac32}\Bigr)^T\).Také je lze spočítat najednou maticovým součinem \([\mathbf x]_B=\mathbf{B}^T\mathbf x\).
Odpověď
Hledané souřadnice jsou: \([(0{,}0,1)^T]_B=\Bigl(\frac1{\sqrt3},0,-\frac2{\sqrt6}\Bigr)^T\)
\([(2{,}1,0)^T]_B=\Bigl(\sqrt3,\frac1{\sqrt2},\sqrt{\frac32}\Bigr)^T\)
\([(1{,}2,3)^T]_B=\Bigl(2\sqrt3,-\frac1{\sqrt2},-\sqrt{\frac32}\Bigr)^T\)Řešení
V předchozí úvaze jsme zjistili, že \((0{,}0,1)^T = \frac1{\sqrt3}\mathbf{b}_1 + 0\mathbf{b}_2 - \frac2{\sqrt6}\mathbf{b}_3\), proto ortogonální projekci vektoru \((0{,}0,1)^T\) tvoří vektor \(\frac1{\sqrt3}\mathbf{b}_1 = \Bigl(\frac13,\frac13,\frac13\Bigr)^T\)
Obdobně protože \((2{,}1,0)^T= \sqrt3\mathbf{b}_1 + \frac1{\sqrt2} \mathbf{b}_2 + \sqrt{\frac32} \mathbf{b}_3\), je vektor \(\sqrt3\mathbf{b}_1 + \frac1{\sqrt2} \mathbf{b}_2 = \Bigl(\frac32,\frac12{,}1\Bigr)^T\) hledanou ortogonální projekcí.
Odpověď
Ortogonální projekce daných vektorů jsou \(\Bigl(\frac13,\frac13,\frac13\Bigr)^T\) a \(\Bigl(\frac32,\frac12{,}1\Bigr)^T\).
