Změna souřadnic při změně báze
Úloha číslo: 2533
Souřadnice vektoru \(u\) vůči uspořádané bázi \(X=(v_1,v_2,v_3,v_4)\) jsou \([u]_X=(a_1,a_2,a_3,a_4)^T\). Určete souřadnice téhož vektoru \(u\) vůči bázi \(Y=(v_1+v_4,v_2+v_3,v_4,v_2)\).
Řešení
Hledáme taková \((b_1,…,b_4)^T=[u]_Y\), aby platilo
\(b_1(v_1+v_4)+b_2(v_2+v_3)+b_3v_4+b_4v_2=a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3+a_4v_4\).
Protože je \(X\) báze, jsou koeficienty u \(v_i\) jsou jednoznačné. Dostáváme soustavu
\( \begin{array}{rcl} b_1 & = & a_1 \\ b_2+b_4 & = & a_2 \\ b_2 & = & a_3 \\ b_1+b_3 & = & a_4 \end{array} \)
Výsledek
Nové souřadnice jsou \([u]_Y=(a_1,a_3,a_4-a_1,a_2-a_3)^T\).
