Inverze 0-1 matice
Úloha číslo: 2408
Najděte inverzní matici k matici \[\mathbf A=\begin{pmatrix} 1&1&1&\cdots&1\\ 0&1&1&\cdots&1\\ 0&0&1&\cdots&1\\ \vdots&&&\ddots&\vdots\\ 0&0&0&\cdots&1 \end{pmatrix}\]
Nápověda
Eliminujte nadbytečné jedničky shora dolů.
Řešení
\[ \left( \begin{matrix} 1 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{matrix}\right|\left. \begin{matrix} 1&0&0&\cdots&0\\0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&&&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1 \end{matrix} \right) \sim \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & & & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 \end{matrix}\right|\left. \begin{matrix} 1&-1&0&\cdots&0\\0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&&&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1 \end{matrix} \right) \] \[ \sim…\sim \left( \begin{matrix} 1&0&0&\cdots&0\\0&1&0&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&&&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1 \end{matrix}\right|\left. \begin{matrix} 1&-1&0&\cdots&0\\0&1&-1&\cdots&0\\0&0&1&\cdots&0\\\vdots&&&\ddots&\vdots\\0&0&0&\cdots&1 \end{matrix} \right) \]Výsledek
Inverzní matice je \[\mathbf A^{-1}=\begin{pmatrix} 1&-1&0&\cdots&0\\ 0&1&-1&\ddots&\vdots\\ 0&0&1&\ddots&0\\ \vdots&\vdots&\ddots&\ddots&-1\\ 0&0&\cdots&0&1 \end{pmatrix}\]
